Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17697 / 51541
↖ ↑ ↗
← S 71.224918°
W 82.787476°		 ← 196.60 m → S 71.224918°
W 82.781982°		 →
↑
196.55 m
↓
↑
196.55 m
↓
S 71.226685°
W 82.787476°		 ← 196.59 m →
38 640 m²		 S 71.226685°
W 82.781982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.270042419433594 y=0.786460876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.270042419433594 × 216)
    floor (0.270042419433594 × 65536)
    floor (17697.5)     		tx = 17697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786460876464844 × 216)
    floor (0.786460876464844 × 65536)
    floor (51541.5)     		ty = 51541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17697 / 51541 ti = "16/17697/51541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17697/51541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17697 ÷ 216
    17697 ÷ 65536     		x = 0.270034790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51541 ÷ 216
    51541 ÷ 65536     		y = 0.786453247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.270034790039062 × 2 - 1) × π
    -0.459930419921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.44491403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786453247070312 × 2 - 1) × π
    -0.572906494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79983883313463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44491403} λ = -1.44491403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79983883313463))-π/2
    2×atan(0.165325531072165)-π/2
    2×0.163843505618381-π/2
    0.327687011236762-1.57079632675     		φ = -1.24310932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44491403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.787476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24310932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.224918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17697 KachelY 51541 -1.44491403 -1.24310932 -82.787476 -71.224918
    Oben rechts KachelX + 1 17698 KachelY 51541 -1.44481815 -1.24310932 -82.781982 -71.224918
    Unten links KachelX 17697 KachelY + 1 51542 -1.44491403 -1.24314017 -82.787476 -71.226685
    Unten rechts KachelX + 1 17698 KachelY + 1 51542 -1.44481815 -1.24314017 -82.781982 -71.226685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24310932--1.24314017) × R
    3.08499999999157e-05 × 6371000     		dl = 196.545349999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24310932--1.24314017) × R
    3.08499999999157e-05 × 6371000     		dr = 196.545349999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44491403--1.44481815) × cos(-1.24310932) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.32185397402906 × 6371000     		do = 196.604976379859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44491403--1.44481815) × cos(-1.24314017) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.321824765425337 × 6371000     		du = 196.587134261047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24310932)-sin(-1.24314017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32185397402906-0.321824765425337)×R²
    abs(-1.44481815--1.44491403)×2.92086037229633e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.92086037229633e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.92086037229633e-05×40589641000000     		ar = 38640.0405045702m²