Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17695 / 13483
↖ ↑ ↗
← N 80.570397°
W131.399231°		 ← 50.03 m → N 80.570397°
W131.396484°		 →
↑
50.08 m
↓
↑
50.08 m
↓
N 80.569947°
W131.399231°		 ← 50.03 m →
2 505 m²		 N 80.569947°
W131.396484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135005950927734 y=0.102870941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135005950927734 × 217)
    floor (0.135005950927734 × 131072)
    floor (17695.5)     		tx = 17695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102870941162109 × 217)
    floor (0.102870941162109 × 131072)
    floor (13483.5)     		ty = 13483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17695 / 13483 ti = "17/17695/13483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17695/13483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17695 ÷ 217
    17695 ÷ 131072     		x = 0.135002136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13483 ÷ 217
    13483 ÷ 131072     		y = 0.102867126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135002136230469 × 2 - 1) × π
    -0.729995727539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.29334921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102867126464844 × 2 - 1) × π
    0.794265747070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.49525943592278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29334921} λ = -2.29334921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49525943592278))-π/2
    2×atan(12.1248787396846)-π/2
    2×1.48850751777211-π/2
    2.97701503554422-1.57079632675     		φ = 1.40621871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29334921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.399231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40621871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.570397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17695 KachelY 13483 -2.29334921 1.40621871 -131.399231 80.570397
    Oben rechts KachelX + 1 17696 KachelY 13483 -2.29330128 1.40621871 -131.396484 80.570397
    Unten links KachelX 17695 KachelY + 1 13484 -2.29334921 1.40621085 -131.399231 80.569947
    Unten rechts KachelX + 1 17696 KachelY + 1 13484 -2.29330128 1.40621085 -131.396484 80.569947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40621871-1.40621085) × R
    7.86000000019271e-06 × 6371000     		dl = 50.0760600012278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40621871-1.40621085) × R
    7.86000000019271e-06 × 6371000     		dr = 50.0760600012278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29334921--2.29330128) × cos(1.40621871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163835669804436 × 6371000     		do = 50.0291927179229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29334921--2.29330128) × cos(1.40621085) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163843423592263 × 6371000     		du = 50.0315604303141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40621871)-sin(1.40621085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163835669804436-0.163843423592263)×R²
    abs(-2.29330128--2.29334921)×7.7537878271916e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.7537878271916e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.7537878271916e-06×40589641000000     		ar = 2505.32413929087m²