Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17693 / 23968
↖ ↑ ↗
← S 63.704723°
E 14.381104°		 ← 541.15 m → S 63.704723°
E 14.392090°		 →
↑
541.09 m
↓
↑
541.09 m
↓
S 63.709589°
E 14.381104°		 ← 541.06 m →
292 788 m²		 S 63.709589°
E 14.392090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539962768554688 y=0.731460571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539962768554688 × 215)
    floor (0.539962768554688 × 32768)
    floor (17693.5)     		tx = 17693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731460571289062 × 215)
    floor (0.731460571289062 × 32768)
    floor (23968.5)     		ty = 23968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17693 / 23968 ti = "15/17693/23968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17693/23968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17693 ÷ 215
    17693 ÷ 32768     		x = 0.539947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23968 ÷ 215
    23968 ÷ 32768     		y = 0.7314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539947509765625 × 2 - 1) × π
    0.07989501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25099761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7314453125 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45421378687402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25099761} λ = 0.25099761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45421378687402))-π/2
    2×atan(0.233583938485776)-π/2
    2×0.229469585675309-π/2
    0.458939171350619-1.57079632675     		φ = -1.11185716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25099761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.381104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11185716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.704723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17693 KachelY 23968 0.25099761 -1.11185716 14.381104 -63.704723
    Oben rechts KachelX + 1 17694 KachelY 23968 0.25118935 -1.11185716 14.392090 -63.704723
    Unten links KachelX 17693 KachelY + 1 23969 0.25099761 -1.11194209 14.381104 -63.709589
    Unten rechts KachelX + 1 17694 KachelY + 1 23969 0.25118935 -1.11194209 14.392090 -63.709589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11185716--1.11194209) × R
    8.49300000000941e-05 × 6371000     		dl = 541.089030000599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11185716--1.11194209) × R
    8.49300000000941e-05 × 6371000     		dr = 541.089030000599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25099761-0.25118935) × cos(-1.11185716) × R
    0.000191739999999996 × 0.442997295098646 × 6371000     		do = 541.154659978656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25099761-0.25118935) × cos(-1.11194209) × R
    0.000191739999999996 × 0.44292115180706 × 6371000     		du = 541.061645196119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11185716)-sin(-1.11194209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442997295098646-0.44292115180706)×R²
    abs(0.25118935-0.25099761)×7.61432915867277e-05×R²
    0.000191739999999996×7.61432915867277e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.61432915867277e-05×40589641000000     		ar = 292787.685584932m²