Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17689 / 51559
↖ ↑ ↗
← S 71.256715°
W 82.831421°		 ← 196.28 m → S 71.256715°
W 82.825927°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
S 71.258480°
W 82.831421°		 ← 196.27 m →
38 527 m²		 S 71.258480°
W 82.825927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269920349121094 y=0.786735534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269920349121094 × 216)
    floor (0.269920349121094 × 65536)
    floor (17689.5)     		tx = 17689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786735534667969 × 216)
    floor (0.786735534667969 × 65536)
    floor (51559.5)     		ty = 51559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17689 / 51559 ti = "16/17689/51559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17689/51559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17689 ÷ 216
    17689 ÷ 65536     		x = 0.269912719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51559 ÷ 216
    51559 ÷ 65536     		y = 0.786727905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269912719726562 × 2 - 1) × π
    -0.460174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.44568102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786727905273438 × 2 - 1) × π
    -0.573455810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80156456152095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44568102} λ = -1.44568102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80156456152095))-π/2
    2×atan(0.165040470149819)-π/2
    2×0.163566016116347-π/2
    0.327132032232694-1.57079632675     		φ = -1.24366429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44568102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.831421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24366429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.256715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17689 KachelY 51559 -1.44568102 -1.24366429 -82.831421 -71.256715
    Oben rechts KachelX + 1 17690 KachelY 51559 -1.44558514 -1.24366429 -82.825927 -71.256715
    Unten links KachelX 17689 KachelY + 1 51560 -1.44568102 -1.24369510 -82.831421 -71.258480
    Unten rechts KachelX + 1 17690 KachelY + 1 51560 -1.44558514 -1.24369510 -82.825927 -71.258480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24366429--1.24369510) × R
    3.08100000001588e-05 × 6371000     		dl = 196.290510001012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24366429--1.24369510) × R
    3.08100000001588e-05 × 6371000     		dr = 196.290510001012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44568102--1.44558514) × cos(-1.24366429) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.321328484822076 × 6371000     		do = 196.283980520049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44568102--1.44558514) × cos(-1.24369510) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.321299308591804 × 6371000     		du = 196.266158176606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24366429)-sin(-1.24369510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321328484822076-0.321299308591804)×R²
    abs(-1.44558514--1.44568102)×2.91762302722098e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.91762302722098e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.91762302722098e-05×40589641000000     		ar = 38526.933465963m²