Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17689 / 51464
↖ ↑ ↗
← S 71.088305°
W 82.831421°		 ← 197.98 m → S 71.088305°
W 82.825927°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
S 71.090085°
W 82.831421°		 ← 197.97 m →
39 188 m²		 S 71.090085°
W 82.825927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269920349121094 y=0.785285949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269920349121094 × 216)
    floor (0.269920349121094 × 65536)
    floor (17689.5)     		tx = 17689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785285949707031 × 216)
    floor (0.785285949707031 × 65536)
    floor (51464.5)     		ty = 51464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17689 / 51464 ti = "16/17689/51464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17689/51464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17689 ÷ 216
    17689 ÷ 65536     		x = 0.269912719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51464 ÷ 216
    51464 ÷ 65536     		y = 0.7852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269912719726562 × 2 - 1) × π
    -0.460174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.44568102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.570556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79245655059314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44568102} λ = -1.44568102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79245655059314))-π/2
    2×atan(0.166550526923281)-π/2
    2×0.165035674455467-π/2
    0.330071348910935-1.57079632675     		φ = -1.24072498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44568102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.831421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24072498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.088305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17689 KachelY 51464 -1.44568102 -1.24072498 -82.831421 -71.088305
    Oben rechts KachelX + 1 17690 KachelY 51464 -1.44558514 -1.24072498 -82.825927 -71.088305
    Unten links KachelX 17689 KachelY + 1 51465 -1.44568102 -1.24075605 -82.831421 -71.090085
    Unten rechts KachelX + 1 17690 KachelY + 1 51465 -1.44558514 -1.24075605 -82.825927 -71.090085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24072498--1.24075605) × R
    3.10700000001329e-05 × 6371000     		dl = 197.946970000847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24072498--1.24075605) × R
    3.10700000001329e-05 × 6371000     		dr = 197.946970000847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44568102--1.44558514) × cos(-1.24072498) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.32411052465911 × 6371000     		do = 197.983393671922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44568102--1.44558514) × cos(-1.24075605) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.324081131685457 × 6371000     		du = 197.965438930465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24072498)-sin(-1.24075605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32411052465911-0.324081131685457)×R²
    abs(-1.44558514--1.44568102)×2.93929736525089e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.93929736525089e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.93929736525089e-05×40589641000000     		ar = 39188.4358475985m²