Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17688 / 51465
↖ ↑ ↗
← S 71.090085°
W 82.836914°		 ← 197.94 m → S 71.090085°
W 82.831421°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
S 71.091865°
W 82.836914°		 ← 197.93 m →
39 181 m²		 S 71.091865°
W 82.831421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269905090332031 y=0.785301208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269905090332031 × 216)
    floor (0.269905090332031 × 65536)
    floor (17688.5)     		tx = 17688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785301208496094 × 216)
    floor (0.785301208496094 × 65536)
    floor (51465.5)     		ty = 51465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17688 / 51465 ti = "16/17688/51465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17688/51465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17688 ÷ 216
    17688 ÷ 65536     		x = 0.2698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51465 ÷ 216
    51465 ÷ 65536     		y = 0.785293579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44577689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785293579101562 × 2 - 1) × π
    -0.570587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79255242439238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44577689} λ = -1.44577689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79255242439238))-π/2
    2×atan(0.166534559856923)-π/2
    2×0.165020138306251-π/2
    0.330040276612501-1.57079632675     		φ = -1.24075605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44577689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.836914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24075605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.090085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17688 KachelY 51465 -1.44577689 -1.24075605 -82.836914 -71.090085
    Oben rechts KachelX + 1 17689 KachelY 51465 -1.44568102 -1.24075605 -82.831421 -71.090085
    Unten links KachelX 17688 KachelY + 1 51466 -1.44577689 -1.24078712 -82.836914 -71.091865
    Unten rechts KachelX + 1 17689 KachelY + 1 51466 -1.44568102 -1.24078712 -82.831421 -71.091865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24075605--1.24078712) × R
    3.10699999999109e-05 × 6371000     		dl = 197.946969999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24075605--1.24078712) × R
    3.10699999999109e-05 × 6371000     		dr = 197.946969999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44577689--1.44568102) × cos(-1.24075605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324081131685457 × 6371000     		do = 197.944791721232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44577689--1.44568102) × cos(-1.24078712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324051738398955 × 6371000     		du = 197.926838661317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24075605)-sin(-1.24078712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324081131685457-0.324051738398955)×R²
    abs(-1.44568102--1.44577689)×2.93932865023105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93932865023105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93932865023105e-05×40589641000000     		ar = 39180.7948746971m²