Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17683 / 51552
↖ ↑ ↗
← S 71.244356°
W 82.864380°		 ← 196.39 m → S 71.244356°
W 82.858887°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
S 71.246122°
W 82.864380°		 ← 196.37 m →
38 560 m²		 S 71.246122°
W 82.858887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269828796386719 y=0.786628723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269828796386719 × 216)
    floor (0.269828796386719 × 65536)
    floor (17683.5)     		tx = 17683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786628723144531 × 216)
    floor (0.786628723144531 × 65536)
    floor (51552.5)     		ty = 51552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17683 / 51552 ti = "16/17683/51552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17683/51552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17683 ÷ 216
    17683 ÷ 65536     		x = 0.269821166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51552 ÷ 216
    51552 ÷ 65536     		y = 0.78662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269821166992188 × 2 - 1) × π
    -0.460357666015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44625626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78662109375 × 2 - 1) × π
    -0.5732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80089344492627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44625626} λ = -1.44625626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80089344492627))-π/2
    2×atan(0.165151268723353)-π/2
    2×0.16367387482318-π/2
    0.32734774964636-1.57079632675     		φ = -1.24344858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44625626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.864380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24344858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.244356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17683 KachelY 51552 -1.44625626 -1.24344858 -82.864380 -71.244356
    Oben rechts KachelX + 1 17684 KachelY 51552 -1.44616039 -1.24344858 -82.858887 -71.244356
    Unten links KachelX 17683 KachelY + 1 51553 -1.44625626 -1.24347940 -82.864380 -71.246122
    Unten rechts KachelX + 1 17684 KachelY + 1 51553 -1.44616039 -1.24347940 -82.858887 -71.246122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24344858--1.24347940) × R
    3.0820000000098e-05 × 6371000     		dl = 196.354220000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24344858--1.24347940) × R
    3.0820000000098e-05 × 6371000     		dr = 196.354220000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44625626--1.44616039) × cos(-1.24344858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321532747767724 × 6371000     		do = 196.388269991016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44625626--1.44616039) × cos(-1.24347940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321503564204507 × 6371000     		du = 196.370445027518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24344858)-sin(-1.24347940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321532747767724-0.321503564204507)×R²
    abs(-1.44616039--1.44625626)×2.91835632167947e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91835632167947e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91835632167947e-05×40589641000000     		ar = 38559.9155706839m²