Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17681 / 51547
↖ ↑ ↗
← S 71.235522°
W 82.875366°		 ← 196.48 m → S 71.235522°
W 82.869873°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
S 71.237289°
W 82.875366°		 ← 196.46 m →
38 602 m²		 S 71.237289°
W 82.869873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269798278808594 y=0.786552429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269798278808594 × 216)
    floor (0.269798278808594 × 65536)
    floor (17681.5)     		tx = 17681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786552429199219 × 216)
    floor (0.786552429199219 × 65536)
    floor (51547.5)     		ty = 51547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17681 / 51547 ti = "16/17681/51547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17681/51547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17681 ÷ 216
    17681 ÷ 65536     		x = 0.269790649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51547 ÷ 216
    51547 ÷ 65536     		y = 0.786544799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269790649414062 × 2 - 1) × π
    -0.460418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.44644801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786544799804688 × 2 - 1) × π
    -0.573089599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80041407593007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44644801} λ = -1.44644801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80041407593007))-π/2
    2×atan(0.165230456099732)-π/2
    2×0.163750958732194-π/2
    0.327501917464388-1.57079632675     		φ = -1.24329441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44644801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.875366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24329441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.235522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17681 KachelY 51547 -1.44644801 -1.24329441 -82.875366 -71.235522
    Oben rechts KachelX + 1 17682 KachelY 51547 -1.44635214 -1.24329441 -82.869873 -71.235522
    Unten links KachelX 17681 KachelY + 1 51548 -1.44644801 -1.24332525 -82.875366 -71.237289
    Unten rechts KachelX + 1 17682 KachelY + 1 51548 -1.44635214 -1.24332525 -82.869873 -71.237289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24329441--1.24332525) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24329441--1.24332525) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44644801--1.44635214) × cos(-1.24329441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321678727281449 × 6371000     		do = 196.47743249267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44644801--1.44635214) × cos(-1.24332525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321649526309103 × 6371000     		du = 196.459596895889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24329441)-sin(-1.24332525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321678727281449-0.321649526309103)×R²
    abs(-1.44635214--1.44644801)×2.92009723459885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92009723459885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92009723459885e-05×40589641000000     		ar = 38602.4559788385m²