Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17680 / 22288
↖ ↑ ↗
← N 75.661318°
W131.440430°		 ← 75.64 m → N 75.661318°
W131.437683°		 →
↑
75.62 m
↓
↑
75.62 m
↓
N 75.660638°
W131.440430°		 ← 75.64 m →
5 720 m²		 N 75.660638°
W131.437683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134891510009766 y=0.170047760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134891510009766 × 217)
    floor (0.134891510009766 × 131072)
    floor (17680.5)     		tx = 17680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170047760009766 × 217)
    floor (0.170047760009766 × 131072)
    floor (22288.5)     		ty = 22288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17680 / 22288 ti = "17/17680/22288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17680/22288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17680 ÷ 217
    17680 ÷ 131072     		x = 0.1348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22288 ÷ 217
    22288 ÷ 131072     		y = 0.1700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.730224609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.29406827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1700439453125 × 2 - 1) × π
    0.659912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.07317503476819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29406827} λ = -2.29406827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07317503476819))-π/2
    2×atan(7.95002469354884)-π/2
    2×1.44566772321321-π/2
    2.89133544642641-1.57079632675     		φ = 1.32053912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29406827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.440430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32053912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.661318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17680 KachelY 22288 -2.29406827 1.32053912 -131.440430 75.661318
    Oben rechts KachelX + 1 17681 KachelY 22288 -2.29402033 1.32053912 -131.437683 75.661318
    Unten links KachelX 17680 KachelY + 1 22289 -2.29406827 1.32052725 -131.440430 75.660638
    Unten rechts KachelX + 1 17681 KachelY + 1 22289 -2.29402033 1.32052725 -131.437683 75.660638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32053912-1.32052725) × R
    1.18700000000249e-05 × 6371000     		dl = 75.6237700001587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32053912-1.32052725) × R
    1.18700000000249e-05 × 6371000     		dr = 75.6237700001587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29406827--2.29402033) × cos(1.32053912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.247653161926753 × 6371000     		do = 75.6396502447687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29406827--2.29402033) × cos(1.32052725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.247664662144036 × 6371000     		du = 75.6431627071425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32053912)-sin(1.32052725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247653161926753-0.247664662144036)×R²
    abs(-2.29402033--2.29406827)×1.15002172829393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15002172829393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15002172829393e-05×40589641000000     		ar = 5720.28832578111m²