Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1768 / 920
↖ ↑ ↗
← N 69.900118°
W 24.609375°		 ← 3 358.56 m → N 69.900118°
W 24.521484°		 →
↑
3 360.96 m
↓
↑
3 360.96 m
↓
N 69.869892°
W 24.609375°		 ← 3 363.40 m →
11 296 122 m²		 N 69.869892°
W 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4317626953125 y=0.2247314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4317626953125 × 212)
    floor (0.4317626953125 × 4096)
    floor (1768.5)     		tx = 1768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2247314453125 × 212)
    floor (0.2247314453125 × 4096)
    floor (920.5)     		ty = 920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1768 / 920 ti = "12/1768/920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1768/920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1768 ÷ 212
    1768 ÷ 4096     		x = 0.431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 920 ÷ 212
    920 ÷ 4096     		y = 0.224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431640625 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224609375 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42951462} λ = -0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73033032868555))-π/2
    2×atan(5.64251748599914)-π/2
    2×1.39539176344744-π/2
    2.79078352689489-1.57079632675     		φ = 1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1768 KachelY 920 -0.42951462 1.21998720 -24.609375 69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 1769 KachelY 920 -0.42798064 1.21998720 -24.521484 69.900118
    Unten links KachelX 1768 KachelY + 1 921 -0.42951462 1.21945966 -24.609375 69.869892
    Unten rechts KachelX + 1 1769 KachelY + 1 921 -0.42798064 1.21945966 -24.521484 69.869892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21998720-1.21945966) × R
    0.000527539999999993 × 6371000     		dl = 3360.95733999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21998720-1.21945966) × R
    0.000527539999999993 × 6371000     		dr = 3360.95733999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42951462--0.42798064) × cos(1.21998720) × R
    0.00153397999999999 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 3358.56274265487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42951462--0.42798064) × cos(1.21945966) × R
    0.00153397999999999 × 0.344153129070886 × 6371000     		du = 3363.40391187476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21998720)-sin(1.21945966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.344153129070886)×R²
    abs(-0.42798064--0.42951462)×0.000495362311230207×R²
    0.00153397999999999×0.000495362311230207×6371000²
    0.00153397999999999×0.000495362311230207×40589641000000     		ar = 11296121.8453631m²