Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1768 / 1347
↖ ↑ ↗
← N 52.321911°
W 24.609375°		 ← 5 973.49 m → N 52.321911°
W 24.521484°		 →
↑
5 977.14 m
↓
↑
5 977.14 m
↓
N 52.268157°
W 24.609375°		 ← 5 980.74 m →
35 726 085 m²		 N 52.268157°
W 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4317626953125 y=0.3289794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4317626953125 × 212)
    floor (0.4317626953125 × 4096)
    floor (1768.5)     		tx = 1768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3289794921875 × 212)
    floor (0.3289794921875 × 4096)
    floor (1347.5)     		ty = 1347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1768 / 1347 ti = "12/1768/1347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1768/1347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1768 ÷ 212
    1768 ÷ 4096     		x = 0.431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1347 ÷ 212
    1347 ÷ 4096     		y = 0.328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431640625 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328857421875 × 2 - 1) × π
    0.34228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0753205322771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42951462} λ = -0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0753205322771))-π/2
    2×atan(2.93093220836119)-π/2
    2×1.24199297133548-π/2
    2.48398594267096-1.57079632675     		φ = 0.91318962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91318962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.321911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1768 KachelY 1347 -0.42951462 0.91318962 -24.609375 52.321911
    Oben rechts KachelX + 1 1769 KachelY 1347 -0.42798064 0.91318962 -24.521484 52.321911
    Unten links KachelX 1768 KachelY + 1 1348 -0.42951462 0.91225144 -24.609375 52.268157
    Unten rechts KachelX + 1 1769 KachelY + 1 1348 -0.42798064 0.91225144 -24.521484 52.268157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91318962-0.91225144) × R
    0.000938180000000011 × 6371000     		dl = 5977.14478000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91318962-0.91225144) × R
    0.000938180000000011 × 6371000     		dr = 5977.14478000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42951462--0.42798064) × cos(0.91318962) × R
    0.00153397999999999 × 0.611224414818064 × 6371000     		do = 5973.48800338526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42951462--0.42798064) × cos(0.91225144) × R
    0.00153397999999999 × 0.611966675158383 × 6371000     		du = 5980.74210373006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91318962)-sin(0.91225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611224414818064-0.611966675158383)×R²
    abs(-0.42798064--0.42951462)×0.000742260340318435×R²
    0.00153397999999999×0.000742260340318435×6371000²
    0.00153397999999999×0.000742260340318435×40589641000000     		ar = 35726084.6622878m²