Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17679 / 50951
↖ ↑ ↗
← S 70.153423°
W 82.886353°		 ← 207.39 m → S 70.153423°
W 82.880859°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
S 70.155288°
W 82.886353°		 ← 207.37 m →
43 005 m²		 S 70.155288°
W 82.880859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269767761230469 y=0.777458190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269767761230469 × 216)
    floor (0.269767761230469 × 65536)
    floor (17679.5)     		tx = 17679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777458190917969 × 216)
    floor (0.777458190917969 × 65536)
    floor (50951.5)     		ty = 50951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17679 / 50951 ti = "16/17679/50951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17679/50951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17679 ÷ 216
    17679 ÷ 65536     		x = 0.269760131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50951 ÷ 216
    50951 ÷ 65536     		y = 0.777450561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269760131835938 × 2 - 1) × π
    -0.460479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44663976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777450561523438 × 2 - 1) × π
    -0.554901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74327329158296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44663976} λ = -1.44663976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74327329158296))-π/2
    2×atan(0.174946810443105)-π/2
    2×0.173194056955954-π/2
    0.346388113911908-1.57079632675     		φ = -1.22440821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44663976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.886353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22440821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.153423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17679 KachelY 50951 -1.44663976 -1.22440821 -82.886353 -70.153423
    Oben rechts KachelX + 1 17680 KachelY 50951 -1.44654388 -1.22440821 -82.880859 -70.153423
    Unten links KachelX 17679 KachelY + 1 50952 -1.44663976 -1.22444076 -82.886353 -70.155288
    Unten rechts KachelX + 1 17680 KachelY + 1 50952 -1.44654388 -1.22444076 -82.880859 -70.155288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22440821--1.22444076) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22440821--1.22444076) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44663976--1.44654388) × cos(-1.22440821) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.339502673639136 × 6371000     		do = 207.385710656767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44663976--1.44654388) × cos(-1.22444076) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.339472056763622 × 6371000     		du = 207.367008293047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22440821)-sin(-1.22444076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339502673639136-0.339472056763622)×R²
    abs(-1.44654388--1.44663976)×3.06168755132008e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.06168755132008e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.06168755132008e-05×40589641000000     		ar = 43004.8902950424m²