Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17678 / 51469
↖ ↑ ↗
← S 71.097205°
W 82.891846°		 ← 197.87 m → S 71.097205°
W 82.886353°		 →
↑
197.88 m
↓
↑
197.88 m
↓
S 71.098984°
W 82.891846°		 ← 197.86 m →
39 154 m²		 S 71.098984°
W 82.886353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269752502441406 y=0.785362243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269752502441406 × 216)
    floor (0.269752502441406 × 65536)
    floor (17678.5)     		tx = 17678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785362243652344 × 216)
    floor (0.785362243652344 × 65536)
    floor (51469.5)     		ty = 51469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17678 / 51469 ti = "16/17678/51469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17678/51469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17678 ÷ 216
    17678 ÷ 65536     		x = 0.269744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51469 ÷ 216
    51469 ÷ 65536     		y = 0.785354614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.46051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44673563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785354614257812 × 2 - 1) × π
    -0.570709228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79293591958934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44673563} λ = -1.44673563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79293591958934))-π/2
    2×atan(0.166470706897524)-π/2
    2×0.164958007798814-π/2
    0.329916015597628-1.57079632675     		φ = -1.24088031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44673563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.891846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24088031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.097205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17678 KachelY 51469 -1.44673563 -1.24088031 -82.891846 -71.097205
    Oben rechts KachelX + 1 17679 KachelY 51469 -1.44663976 -1.24088031 -82.886353 -71.097205
    Unten links KachelX 17678 KachelY + 1 51470 -1.44673563 -1.24091137 -82.891846 -71.098984
    Unten rechts KachelX + 1 17679 KachelY + 1 51470 -1.44663976 -1.24091137 -82.886353 -71.098984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24088031--1.24091137) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dl = 197.883259999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24088031--1.24091137) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dr = 197.883259999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44673563--1.44663976) × cos(-1.24088031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323963575584022 × 6371000     		do = 197.872989892187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44673563--1.44663976) × cos(-1.24091137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3239341905074 × 6371000     		du = 197.855041846766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24088031)-sin(-1.24091137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323963575584022-0.3239341905074)×R²
    abs(-1.44663976--1.44673563)×2.93850766214798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93850766214798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93850766214798e-05×40589641000000     		ar = 39153.976499741m²