Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17674 / 24088
↖ ↑ ↗
← S 64.282760°
E 14.172363°		 ← 530.11 m → S 64.282760°
E 14.183350°		 →
↑
530 m
↓
↑
530 m
↓
S 64.287526°
E 14.172363°		 ← 530.01 m →
280 934 m²		 S 64.287526°
E 14.183350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539382934570312 y=0.735122680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539382934570312 × 215)
    floor (0.539382934570312 × 32768)
    floor (17674.5)     		tx = 17674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735122680664062 × 215)
    floor (0.735122680664062 × 32768)
    floor (24088.5)     		ty = 24088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17674 / 24088 ti = "15/17674/24088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17674/24088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17674 ÷ 215
    17674 ÷ 32768     		x = 0.53936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24088 ÷ 215
    24088 ÷ 32768     		y = 0.735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53936767578125 × 2 - 1) × π
    0.0787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24735440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.47021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47722349869165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24735440} λ = 0.24735440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47722349869165))-π/2
    2×atan(0.228270602960923)-π/2
    2×0.224425260388889-π/2
    0.448850520777779-1.57079632675     		φ = -1.12194581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24735440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.172363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12194581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.282760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17674 KachelY 24088 0.24735440 -1.12194581 14.172363 -64.282760
    Oben rechts KachelX + 1 17675 KachelY 24088 0.24754615 -1.12194581 14.183350 -64.282760
    Unten links KachelX 17674 KachelY + 1 24089 0.24735440 -1.12202900 14.172363 -64.287526
    Unten rechts KachelX + 1 17675 KachelY + 1 24089 0.24754615 -1.12202900 14.183350 -64.287526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12194581--1.12202900) × R
    8.31900000000108e-05 × 6371000     		dl = 530.003490000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12194581--1.12202900) × R
    8.31900000000108e-05 × 6371000     		dr = 530.003490000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24735440-0.24754615) × cos(-1.12194581) × R
    0.000191749999999991 × 0.433930198155449 × 6371000     		do = 530.106161826948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24735440-0.24754615) × cos(-1.12202900) × R
    0.000191749999999991 × 0.433855246915265 × 6371000     		du = 530.014598450103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12194581)-sin(-1.12202900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433930198155449-0.433855246915265)×R²
    abs(0.24754615-0.24735440)×7.49512401841401e-05×R²
    0.000191749999999991×7.49512401841401e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.49512401841401e-05×40589641000000     		ar = 280933.85154646m²