Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17670 / 51549
↖ ↑ ↗
← S 71.239056°
W 82.935791°		 ← 196.44 m → S 71.239056°
W 82.930298°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
S 71.240823°
W 82.935791°		 ← 196.42 m →
38 595 m²		 S 71.240823°
W 82.930298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269630432128906 y=0.786582946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269630432128906 × 216)
    floor (0.269630432128906 × 65536)
    floor (17670.5)     		tx = 17670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786582946777344 × 216)
    floor (0.786582946777344 × 65536)
    floor (51549.5)     		ty = 51549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17670 / 51549 ti = "16/17670/51549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17670/51549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17670 ÷ 216
    17670 ÷ 65536     		x = 0.269622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51549 ÷ 216
    51549 ÷ 65536     		y = 0.786575317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.46075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44750262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786575317382812 × 2 - 1) × π
    -0.573150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80060582352855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44750262} λ = -1.44750262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80060582352855))-π/2
    2×atan(0.165198776593911)-π/2
    2×0.163720120969908-π/2
    0.327440241939817-1.57079632675     		φ = -1.24335608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44750262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.935791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24335608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.239056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17670 KachelY 51549 -1.44750262 -1.24335608 -82.935791 -71.239056
    Oben rechts KachelX + 1 17671 KachelY 51549 -1.44740675 -1.24335608 -82.930298 -71.239056
    Unten links KachelX 17670 KachelY + 1 51550 -1.44750262 -1.24338692 -82.935791 -71.240823
    Unten rechts KachelX + 1 17671 KachelY + 1 51550 -1.44740675 -1.24338692 -82.930298 -71.240823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24335608--1.24338692) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24335608--1.24338692) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44750262--1.44740675) × cos(-1.24335608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321620334499521 × 6371000     		do = 196.441766895612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44750262--1.44740675) × cos(-1.24338692) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321591132915457 × 6371000     		du = 196.423930925201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24335608)-sin(-1.24338692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321620334499521-0.321591132915457)×R²
    abs(-1.44740675--1.44750262)×2.92015840643867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92015840643867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92015840643867e-05×40589641000000     		ar = 38595.4483067738m²