Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1767 / 499
↖ ↑ ↗
← N 79.383905°
W 24.697266°		 ← 1 800.45 m → N 79.383905°
W 24.609375°		 →
↑
1 801.78 m
↓
↑
1 801.78 m
↓
N 79.367701°
W 24.697266°		 ← 1 803.17 m →
3 246 471 m²		 N 79.367701°
W 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4315185546875 y=0.1219482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4315185546875 × 212)
    floor (0.4315185546875 × 4096)
    floor (1767.5)     		tx = 1767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1219482421875 × 212)
    floor (0.1219482421875 × 4096)
    floor (499.5)     		ty = 499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1767 / 499 ti = "12/1767/499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1767/499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1767 ÷ 212
    1767 ÷ 4096     		x = 0.431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 499 ÷ 212
    499 ÷ 4096     		y = 0.121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121826171875 × 2 - 1) × π
    0.75634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37613624036694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43104860} λ = -0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37613624036694))-π/2
    2×atan(10.7632358638789)-π/2
    2×1.47815341981223-π/2
    2.95630683962446-1.57079632675     		φ = 1.38551051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38551051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.383905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1767 KachelY 499 -0.43104860 1.38551051 -24.697266 79.383905
    Oben rechts KachelX + 1 1768 KachelY 499 -0.42951462 1.38551051 -24.609375 79.383905
    Unten links KachelX 1767 KachelY + 1 500 -0.43104860 1.38522770 -24.697266 79.367701
    Unten rechts KachelX + 1 1768 KachelY + 1 500 -0.42951462 1.38522770 -24.609375 79.367701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38551051-1.38522770) × R
    0.000282810000000078 × 6371000     		dl = 1801.7825100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38551051-1.38522770) × R
    0.000282810000000078 × 6371000     		dr = 1801.7825100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43104860--0.42951462) × cos(1.38551051) × R
    0.00153397999999999 × 0.184227465699549 × 6371000     		do = 1800.45254994909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43104860--0.42951462) × cos(1.38522770) × R
    0.00153397999999999 × 0.184505427649398 × 6371000     		du = 1803.16906835471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38551051)-sin(1.38522770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184227465699549-0.184505427649398)×R²
    abs(-0.42951462--0.43104860)×0.000277961949848859×R²
    0.00153397999999999×0.000277961949848859×6371000²
    0.00153397999999999×0.000277961949848859×40589641000000     		ar = 3246471.22389403m²