Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17668 / 51556
↖ ↑ ↗
← S 71.251419°
W 82.946777°		 ← 196.34 m → S 71.251419°
W 82.941284°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
S 71.253184°
W 82.946777°		 ← 196.32 m →
38 537 m²		 S 71.253184°
W 82.941284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269599914550781 y=0.786689758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269599914550781 × 216)
    floor (0.269599914550781 × 65536)
    floor (17668.5)     		tx = 17668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786689758300781 × 216)
    floor (0.786689758300781 × 65536)
    floor (51556.5)     		ty = 51556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17668 / 51556 ti = "16/17668/51556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17668/51556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17668 ÷ 216
    17668 ÷ 65536     		x = 0.26959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51556 ÷ 216
    51556 ÷ 65536     		y = 0.78668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.4608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.44769437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.5733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80127694012323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44769437} λ = -1.44769437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80127694012323))-π/2
    2×atan(0.165087946147753)-π/2
    2×0.163612232883329-π/2
    0.327224465766658-1.57079632675     		φ = -1.24357186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44769437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.946777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24357186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.251419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17668 KachelY 51556 -1.44769437 -1.24357186 -82.946777 -71.251419
    Oben rechts KachelX + 1 17669 KachelY 51556 -1.44759849 -1.24357186 -82.941284 -71.251419
    Unten links KachelX 17668 KachelY + 1 51557 -1.44769437 -1.24360267 -82.946777 -71.253184
    Unten rechts KachelX + 1 17669 KachelY + 1 51557 -1.44759849 -1.24360267 -82.941284 -71.253184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24357186--1.24360267) × R
    3.08099999999367e-05 × 6371000     		dl = 196.290509999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24357186--1.24360267) × R
    3.08099999999367e-05 × 6371000     		dr = 196.290509999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44769437--1.44759849) × cos(-1.24357186) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.321416011682644 × 6371000     		do = 196.337446431911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44769437--1.44759849) × cos(-1.24360267) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.321386836367524 × 6371000     		du = 196.319624647491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24357186)-sin(-1.24360267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321416011682644-0.321386836367524)×R²
    abs(-1.44759849--1.44769437)×2.9175315119867e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.9175315119867e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.9175315119867e-05×40589641000000     		ar = 38537.4283717634m²