Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17667 / 51533
↖ ↑ ↗
← S 71.210768°
W 82.952270°		 ← 196.73 m → S 71.210768°
W 82.946777°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
S 71.212538°
W 82.952270°		 ← 196.71 m →
38 702 m²		 S 71.212538°
W 82.946777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269584655761719 y=0.786338806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269584655761719 × 216)
    floor (0.269584655761719 × 65536)
    floor (17667.5)     		tx = 17667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786338806152344 × 216)
    floor (0.786338806152344 × 65536)
    floor (51533.5)     		ty = 51533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17667 / 51533 ti = "16/17667/51533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17667/51533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17667 ÷ 216
    17667 ÷ 65536     		x = 0.269577026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51533 ÷ 216
    51533 ÷ 65536     		y = 0.786331176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269577026367188 × 2 - 1) × π
    -0.460845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44779024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786331176757812 × 2 - 1) × π
    -0.572662353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79907184274071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44779024} λ = -1.44779024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79907184274071))-π/2
    2×atan(0.16545238280718)-π/2
    2×0.163966979898649-π/2
    0.327933959797297-1.57079632675     		φ = -1.24286237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44779024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.952270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24286237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.210768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17667 KachelY 51533 -1.44779024 -1.24286237 -82.952270 -71.210768
    Oben rechts KachelX + 1 17668 KachelY 51533 -1.44769437 -1.24286237 -82.946777 -71.210768
    Unten links KachelX 17667 KachelY + 1 51534 -1.44779024 -1.24289325 -82.952270 -71.212538
    Unten rechts KachelX + 1 17668 KachelY + 1 51534 -1.44769437 -1.24289325 -82.946777 -71.212538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24286237--1.24289325) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dl = 196.736479999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24286237--1.24289325) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dr = 196.736479999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44779024--1.44769437) × cos(-1.24286237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322087773835621 × 6371000     		do = 196.727273125319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44779024--1.44769437) × cos(-1.24289325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322058539283099 × 6371000     		du = 196.709417018177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24286237)-sin(-1.24289325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322087773835621-0.322058539283099)×R²
    abs(-1.44769437--1.44779024)×2.92345525214621e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92345525214621e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92345525214621e-05×40589641000000     		ar = 38701.6747637564m²