Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17666 / 51459
↖ ↑ ↗
← S 71.079401°
W 82.957764°		 ← 198.07 m → S 71.079401°
W 82.952270°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
S 71.081182°
W 82.957764°		 ← 198.06 m →
39 231 m²		 S 71.081182°
W 82.952270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269569396972656 y=0.785209655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269569396972656 × 216)
    floor (0.269569396972656 × 65536)
    floor (17666.5)     		tx = 17666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785209655761719 × 216)
    floor (0.785209655761719 × 65536)
    floor (51459.5)     		ty = 51459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17666 / 51459 ti = "16/17666/51459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17666/51459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17666 ÷ 216
    17666 ÷ 65536     		x = 0.269561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51459 ÷ 216
    51459 ÷ 65536     		y = 0.785202026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.46087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44788612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785202026367188 × 2 - 1) × π
    -0.570404052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79197718159694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44788612} λ = -1.44788612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79197718159694))-π/2
    2×atan(0.166630385221456)-π/2
    2×0.165113376341338-π/2
    0.330226752682675-1.57079632675     		φ = -1.24056957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44788612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.957764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24056957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.079401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17666 KachelY 51459 -1.44788612 -1.24056957 -82.957764 -71.079401
    Oben rechts KachelX + 1 17667 KachelY 51459 -1.44779024 -1.24056957 -82.952270 -71.079401
    Unten links KachelX 17666 KachelY + 1 51460 -1.44788612 -1.24060066 -82.957764 -71.081182
    Unten rechts KachelX + 1 17667 KachelY + 1 51460 -1.44779024 -1.24060066 -82.952270 -71.081182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24056957--1.24060066) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24056957--1.24060066) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44788612--1.44779024) × cos(-1.24056957) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324257541591759 × 6371000     		do = 198.073199182357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44788612--1.44779024) × cos(-1.24060066) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324228131263808 × 6371000     		du = 198.055233840002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24056957)-sin(-1.24060066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324257541591759-0.324228131263808)×R²
    abs(-1.44779024--1.44788612)×2.9410327950341e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.9410327950341e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.9410327950341e-05×40589641000000     		ar = 39231.4488690593m²