Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17665 / 23813
↖ ↑ ↗
← S 62.940233°
E 14.073486°		 ← 555.75 m → S 62.940233°
E 14.084473°		 →
↑
555.68 m
↓
↑
555.68 m
↓
S 62.945230°
E 14.073486°		 ← 555.65 m →
308 791 m²		 S 62.945230°
E 14.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539108276367188 y=0.726730346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539108276367188 × 215)
    floor (0.539108276367188 × 32768)
    floor (17665.5)     		tx = 17665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726730346679688 × 215)
    floor (0.726730346679688 × 32768)
    floor (23813.5)     		ty = 23813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17665 / 23813 ti = "15/17665/23813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17665/23813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17665 ÷ 215
    17665 ÷ 32768     		x = 0.539093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23813 ÷ 215
    23813 ÷ 32768     		y = 0.726715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539093017578125 × 2 - 1) × π
    0.07818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24562867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.45343017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42449290910959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24562867} λ = 0.24562867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42449290910959))-π/2
    2×atan(0.240630453786643)-π/2
    2×0.236141012800121-π/2
    0.472282025600242-1.57079632675     		φ = -1.09851430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24562867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09851430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.940233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17665 KachelY 23813 0.24562867 -1.09851430 14.073486 -62.940233
    Oben rechts KachelX + 1 17666 KachelY 23813 0.24582042 -1.09851430 14.084473 -62.940233
    Unten links KachelX 17665 KachelY + 1 23814 0.24562867 -1.09860152 14.073486 -62.945230
    Unten rechts KachelX + 1 17666 KachelY + 1 23814 0.24582042 -1.09860152 14.084473 -62.945230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09851430--1.09860152) × R
    8.72200000001655e-05 × 6371000     		dl = 555.678620001054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09851430--1.09860152) × R
    8.72200000001655e-05 × 6371000     		dr = 555.678620001054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24562867-0.24582042) × cos(-1.09851430) × R
    0.000191750000000018 × 0.454919687101032 × 6371000     		do = 555.747745360393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24562867-0.24582042) × cos(-1.09860152) × R
    0.000191750000000018 × 0.454842013128825 × 6371000     		du = 555.652855787241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09851430)-sin(-1.09860152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454919687101032-0.454842013128825)×R²
    abs(0.24582042-0.24562867)×7.76739722068709e-05×R²
    0.000191750000000018×7.76739722068709e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.76739722068709e-05×40589641000000     		ar = 308790.77635254m²