Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17665 / 13569
↖ ↑ ↗
← N 80.531619°
W131.481628°		 ← 50.24 m → N 80.531619°
W131.478882°		 →
↑
50.27 m
↓
↑
50.27 m
↓
N 80.531167°
W131.481628°		 ← 50.25 m →
2 526 m²		 N 80.531167°
W131.478882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134777069091797 y=0.103527069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134777069091797 × 217)
    floor (0.134777069091797 × 131072)
    floor (17665.5)     		tx = 17665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103527069091797 × 217)
    floor (0.103527069091797 × 131072)
    floor (13569.5)     		ty = 13569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17665 / 13569 ti = "17/17665/13569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17665/13569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17665 ÷ 217
    17665 ÷ 131072     		x = 0.134773254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13569 ÷ 217
    13569 ÷ 131072     		y = 0.103523254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134773254394531 × 2 - 1) × π
    -0.730453491210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.29478732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103523254394531 × 2 - 1) × π
    0.792953491210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.49113686255546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29478732} λ = -2.29478732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49113686255546))-π/2
    2×atan(12.0749959309288)-π/2
    2×1.48816911786343-π/2
    2.97633823572686-1.57079632675     		φ = 1.40554191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29478732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.481628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40554191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.531619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17665 KachelY 13569 -2.29478732 1.40554191 -131.481628 80.531619
    Oben rechts KachelX + 1 17666 KachelY 13569 -2.29473938 1.40554191 -131.478882 80.531619
    Unten links KachelX 17665 KachelY + 1 13570 -2.29478732 1.40553402 -131.481628 80.531167
    Unten rechts KachelX + 1 17666 KachelY + 1 13570 -2.29473938 1.40553402 -131.478882 80.531167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40554191-1.40553402) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dl = 50.2671900000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40554191-1.40553402) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dr = 50.2671900000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29478732--2.29473938) × cos(1.40554191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164503287068313 × 6371000     		do = 50.2435381852391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29478732--2.29473938) × cos(1.40553402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164511069574053 × 6371000     		du = 50.2459151628137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40554191)-sin(1.40553402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164503287068313-0.164511069574053)×R²
    abs(-2.29473938--2.29478732)×7.78250573971184e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.78250573971184e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.78250573971184e-06×40589641000000     		ar = 2525.66122220932m²