Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17664 / 25856
↖ ↑ ↗
← S 71.524909°
E 14.062500°		 ← 387.11 m → S 71.524909°
E 14.073486°		 →
↑
387.10 m
↓
↑
387.10 m
↓
S 71.528390°
E 14.062500°		 ← 387.04 m →
149 837 m²		 S 71.528390°
E 14.073486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539077758789062 y=0.789077758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539077758789062 × 215)
    floor (0.539077758789062 × 32768)
    floor (17664.5)     		tx = 17664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789077758789062 × 215)
    floor (0.789077758789062 × 32768)
    floor (25856.5)     		ty = 25856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17664 / 25856 ti = "15/17664/25856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17664/25856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17664 ÷ 215
    17664 ÷ 32768     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25856 ÷ 215
    25856 ÷ 32768     		y = 0.7890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7890625 × 2 - 1) × π
    -0.578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81623325280469))-π/2
    2×atan(0.16263721186318)-π/2
    2×0.161225583460261-π/2
    0.322451166920523-1.57079632675     		φ = -1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17664 KachelY 25856 0.24543693 -1.24834516 14.062500 -71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 17665 KachelY 25856 0.24562867 -1.24834516 14.073486 -71.524909
    Unten links KachelX 17664 KachelY + 1 25857 0.24543693 -1.24840592 14.062500 -71.528390
    Unten rechts KachelX + 1 17665 KachelY + 1 25857 0.24562867 -1.24840592 14.073486 -71.528390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24834516--1.24840592) × R
    6.0759999999993e-05 × 6371000     		dl = 387.101959999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24834516--1.24840592) × R
    6.0759999999993e-05 × 6371000     		dr = 387.101959999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24562867) × cos(-1.24834516) × R
    0.000191739999999996 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 387.107940680022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24562867) × cos(-1.24840592) × R
    0.000191739999999996 × 0.316834718525284 × 6371000     		du = 387.037542373264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24834516)-sin(-1.24840592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.316834718525284)×R²
    abs(0.24562867-0.24543693)×5.76291063902334e-05×R²
    0.000191739999999996×5.76291063902334e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.76291063902334e-05×40589641000000     		ar = 149836.616953345m²