Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17663 / 51458
↖ ↑ ↗
← S 71.077619°
W 82.974243°		 ← 198.09 m → S 71.077619°
W 82.968750°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
S 71.079401°
W 82.974243°		 ← 198.07 m →
39 235 m²		 S 71.079401°
W 82.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269523620605469 y=0.785194396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269523620605469 × 216)
    floor (0.269523620605469 × 65536)
    floor (17663.5)     		tx = 17663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785194396972656 × 216)
    floor (0.785194396972656 × 65536)
    floor (51458.5)     		ty = 51458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17663 / 51458 ti = "16/17663/51458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17663/51458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17663 ÷ 216
    17663 ÷ 65536     		x = 0.269515991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51458 ÷ 216
    51458 ÷ 65536     		y = 0.785186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269515991210938 × 2 - 1) × π
    -0.460968017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44817374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785186767578125 × 2 - 1) × π
    -0.57037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7918813077977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44817374} λ = -1.44817374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7918813077977))-π/2
    2×atan(0.166646361475396)-π/2
    2×0.165128920947259-π/2
    0.330257841894518-1.57079632675     		φ = -1.24053848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44817374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.974243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24053848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.077619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17663 KachelY 51458 -1.44817374 -1.24053848 -82.974243 -71.077619
    Oben rechts KachelX + 1 17664 KachelY 51458 -1.44807786 -1.24053848 -82.968750 -71.077619
    Unten links KachelX 17663 KachelY + 1 51459 -1.44817374 -1.24056957 -82.974243 -71.079401
    Unten rechts KachelX + 1 17664 KachelY + 1 51459 -1.44807786 -1.24056957 -82.968750 -71.079401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24053848--1.24056957) × R
    3.10899999997893e-05 × 6371000     		dl = 198.074389998658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24053848--1.24056957) × R
    3.10899999997893e-05 × 6371000     		dr = 198.074389998658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44817374--1.44807786) × cos(-1.24053848) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.324286951606285 × 6371000     		do = 198.091164333716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44817374--1.44807786) × cos(-1.24056957) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.324257541591759 × 6371000     		du = 198.073199182816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24053848)-sin(-1.24056957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324286951606285-0.324257541591759)×R²
    abs(-1.44807786--1.44817374)×2.94100145266096e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.94100145266096e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.94100145266096e-05×40589641000000     		ar = 39235.0073245292m²