Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17662 / 51457
↖ ↑ ↗
← S 71.075838°
W 82.979736°		 ← 198.09 m → S 71.075838°
W 82.974243°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
S 71.077619°
W 82.979736°		 ← 198.07 m →
39 234 m²		 S 71.077619°
W 82.974243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269508361816406 y=0.785179138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269508361816406 × 216)
    floor (0.269508361816406 × 65536)
    floor (17662.5)     		tx = 17662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785179138183594 × 216)
    floor (0.785179138183594 × 65536)
    floor (51457.5)     		ty = 51457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17662 / 51457 ti = "16/17662/51457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17662/51457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17662 ÷ 216
    17662 ÷ 65536     		x = 0.269500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51457 ÷ 216
    51457 ÷ 65536     		y = 0.785171508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.46099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44826961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785171508789062 × 2 - 1) × π
    -0.570343017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79178543399846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44826961} λ = -1.44826961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79178543399846))-π/2
    2×atan(0.166662339261113)-π/2
    2×0.165144466963025-π/2
    0.330288933926051-1.57079632675     		φ = -1.24050739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44826961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.979736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24050739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.075838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17662 KachelY 51457 -1.44826961 -1.24050739 -82.979736 -71.075838
    Oben rechts KachelX + 1 17663 KachelY 51457 -1.44817374 -1.24050739 -82.974243 -71.075838
    Unten links KachelX 17662 KachelY + 1 51458 -1.44826961 -1.24053848 -82.979736 -71.077619
    Unten rechts KachelX + 1 17663 KachelY + 1 51458 -1.44817374 -1.24053848 -82.974243 -71.077619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24050739--1.24053848) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24050739--1.24053848) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44826961--1.44817374) × cos(-1.24050739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32431636130736 × 6371000     		do = 198.088467097432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44826961--1.44817374) × cos(-1.24053848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324286951606285 × 6371000     		du = 198.070504011696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24050739)-sin(-1.24053848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32431636130736-0.324286951606285)×R²
    abs(-1.44817374--1.44826961)×2.94097010749561e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94097010749561e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94097010749561e-05×40589641000000     		ar = 39234.4732760714m²