Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17660 / 23941
↖ ↑ ↗
← S 63.573011°
E 14.018555°		 ← 543.67 m → S 63.573011°
E 14.029541°		 →
↑
543.64 m
↓
↑
543.64 m
↓
S 63.577900°
E 14.018555°		 ← 543.58 m →
295 534 m²		 S 63.577900°
E 14.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538955688476562 y=0.730636596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538955688476562 × 215)
    floor (0.538955688476562 × 32768)
    floor (17660.5)     		tx = 17660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730636596679688 × 215)
    floor (0.730636596679688 × 32768)
    floor (23941.5)     		ty = 23941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17660 / 23941 ti = "15/17660/23941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17660/23941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17660 ÷ 215
    17660 ÷ 32768     		x = 0.5389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23941 ÷ 215
    23941 ÷ 32768     		y = 0.730621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5389404296875 × 2 - 1) × π
    0.077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24466994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730621337890625 × 2 - 1) × π
    -0.46124267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44903660171506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24466994} λ = 0.24466994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44903660171506))-π/2
    2×atan(0.234796381598606)-π/2
    2×0.230618989583569-π/2
    0.461237979167139-1.57079632675     		φ = -1.10955835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24466994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10955835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.573011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17660 KachelY 23941 0.24466994 -1.10955835 14.018555 -63.573011
    Oben rechts KachelX + 1 17661 KachelY 23941 0.24486168 -1.10955835 14.029541 -63.573011
    Unten links KachelX 17660 KachelY + 1 23942 0.24466994 -1.10964368 14.018555 -63.577900
    Unten rechts KachelX + 1 17661 KachelY + 1 23942 0.24486168 -1.10964368 14.029541 -63.577900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10955835--1.10964368) × R
    8.53300000001056e-05 × 6371000     		dl = 543.637430000673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10955835--1.10964368) × R
    8.53300000001056e-05 × 6371000     		dr = 543.637430000673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24466994-0.24486168) × cos(-1.10955835) × R
    0.000191739999999996 × 0.445057058686714 × 6371000     		do = 543.670816796022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24466994-0.24486168) × cos(-1.10964368) × R
    0.000191739999999996 × 0.444980643862646 × 6371000     		du = 543.577470316047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10955835)-sin(-1.10964368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445057058686714-0.444980643862646)×R²
    abs(0.24486168-0.24466994)×7.64148240681717e-05×R²
    0.000191739999999996×7.64148240681717e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.64148240681717e-05×40589641000000     		ar = 295534.432468368m²