Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1766 / 930
↖ ↑ ↗
← N 69.595890°
W 24.785156°		 ← 3 407.25 m → N 69.595890°
W 24.697266°		 →
↑
3 409.70 m
↓
↑
3 409.70 m
↓
N 69.565226°
W 24.785156°		 ← 3 412.15 m →
11 626 032 m²		 N 69.565226°
W 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4312744140625 y=0.2271728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4312744140625 × 212)
    floor (0.4312744140625 × 4096)
    floor (1766.5)     		tx = 1766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2271728515625 × 212)
    floor (0.2271728515625 × 4096)
    floor (930.5)     		ty = 930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1766 / 930 ti = "12/1766/930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1766/930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1766 ÷ 212
    1766 ÷ 4096     		x = 0.43115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 930 ÷ 212
    930 ÷ 4096     		y = 0.22705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22705078125 × 2 - 1) × π
    0.5458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71499052080713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43258258} λ = -0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71499052080713))-π/2
    2×atan(5.55662283981216)-π/2
    2×1.39273687711114-π/2
    2.78547375422228-1.57079632675     		φ = 1.21467743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21467743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.595890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1766 KachelY 930 -0.43258258 1.21467743 -24.785156 69.595890
    Oben rechts KachelX + 1 1767 KachelY 930 -0.43104860 1.21467743 -24.697266 69.595890
    Unten links KachelX 1766 KachelY + 1 931 -0.43258258 1.21414224 -24.785156 69.565226
    Unten rechts KachelX + 1 1767 KachelY + 1 931 -0.43104860 1.21414224 -24.697266 69.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21467743-1.21414224) × R
    0.00053519000000013 × 6371000     		dl = 3409.69549000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21467743-1.21414224) × R
    0.00053519000000013 × 6371000     		dr = 3409.69549000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43258258--0.43104860) × cos(1.21467743) × R
    0.00153397999999999 × 0.348639277088577 × 6371000     		do = 3407.24697624755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43258258--0.43104860) × cos(1.21414224) × R
    0.00153397999999999 × 0.349140837699934 × 6371000     		du = 3412.14872137139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21467743)-sin(1.21414224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348639277088577-0.349140837699934)×R²
    abs(-0.43104860--0.43258258)×0.000501560611356644×R²
    0.00153397999999999×0.000501560611356644×6371000²
    0.00153397999999999×0.000501560611356644×40589641000000     		ar = 11626031.6548532m²