Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17659 / 50960
↖ ↑ ↗
← S 70.170201°
W 82.996216°		 ← 207.20 m → S 70.170201°
W 82.990723°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
S 70.172064°
W 82.996216°		 ← 207.18 m →
42 926 m²		 S 70.172064°
W 82.990723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269462585449219 y=0.777595520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269462585449219 × 216)
    floor (0.269462585449219 × 65536)
    floor (17659.5)     		tx = 17659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777595520019531 × 216)
    floor (0.777595520019531 × 65536)
    floor (50960.5)     		ty = 50960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17659 / 50960 ti = "16/17659/50960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17659/50960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17659 ÷ 216
    17659 ÷ 65536     		x = 0.269454956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50960 ÷ 216
    50960 ÷ 65536     		y = 0.777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269454956054688 × 2 - 1) × π
    -0.461090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44855723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.55517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74413615577612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44855723} λ = -1.44855723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74413615577612))-π/2
    2×atan(0.174795920212916)-π/2
    2×0.173047644032394-π/2
    0.346095288064789-1.57079632675     		φ = -1.22470104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44855723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.996216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22470104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.170201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17659 KachelY 50960 -1.44855723 -1.22470104 -82.996216 -70.170201
    Oben rechts KachelX + 1 17660 KachelY 50960 -1.44846136 -1.22470104 -82.990723 -70.170201
    Unten links KachelX 17659 KachelY + 1 50961 -1.44855723 -1.22473356 -82.996216 -70.172064
    Unten rechts KachelX + 1 17660 KachelY + 1 50961 -1.44846136 -1.22473356 -82.990723 -70.172064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22470104--1.22473356) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dl = 207.184919999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22470104--1.22473356) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dr = 207.184919999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44855723--1.44846136) × cos(-1.22470104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339227221698606 × 6371000     		do = 207.195838264583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44855723--1.44846136) × cos(-1.22473356) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339196629810007 × 6371000     		du = 207.177153113165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22470104)-sin(-1.22473356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339227221698606-0.339196629810007)×R²
    abs(-1.44846136--1.44855723)×3.05918885987744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05918885987744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05918885987744e-05×40589641000000     		ar = 42925.9175383396m²