Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17659 / 22285
↖ ↑ ↗
← N 75.663359°
W131.498108°		 ← 75.61 m → N 75.663359°
W131.495362°		 →
↑
75.62 m
↓
↑
75.62 m
↓
N 75.662678°
W131.498108°		 ← 75.62 m →
5 718 m²		 N 75.662678°
W131.495362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134731292724609 y=0.170024871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134731292724609 × 217)
    floor (0.134731292724609 × 131072)
    floor (17659.5)     		tx = 17659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170024871826172 × 217)
    floor (0.170024871826172 × 131072)
    floor (22285.5)     		ty = 22285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17659 / 22285 ti = "17/17659/22285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17659/22285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17659 ÷ 217
    17659 ÷ 131072     		x = 0.134727478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22285 ÷ 217
    22285 ÷ 131072     		y = 0.170021057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134727478027344 × 2 - 1) × π
    -0.730545043945312 × 3.1415926535     		Λ = -2.29507494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170021057128906 × 2 - 1) × π
    0.659957885742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.07331884546705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29507494} λ = -2.29507494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07331884546705))-π/2
    2×atan(7.9511680743692)-π/2
    2×1.44568552955986-π/2
    2.89137105911972-1.57079632675     		φ = 1.32057473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29507494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.498108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32057473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.663359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17659 KachelY 22285 -2.29507494 1.32057473 -131.498108 75.663359
    Oben rechts KachelX + 1 17660 KachelY 22285 -2.29502701 1.32057473 -131.495362 75.663359
    Unten links KachelX 17659 KachelY + 1 22286 -2.29507494 1.32056286 -131.498108 75.662678
    Unten rechts KachelX + 1 17660 KachelY + 1 22286 -2.29502701 1.32056286 -131.495362 75.662678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32057473-1.32056286) × R
    1.18700000000249e-05 × 6371000     		dl = 75.6237700001587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32057473-1.32056286) × R
    1.18700000000249e-05 × 6371000     		dr = 75.6237700001587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29507494--2.29502701) × cos(1.32057473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.247618661065549 × 6371000     		do = 75.6133370089044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29507494--2.29502701) × cos(1.32056286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.247630161387508 × 6371000     		du = 75.6168487705634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32057473)-sin(1.32056286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247618661065549-0.247630161387508)×R²
    abs(-2.29502701--2.29507494)×1.15003219587628e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.15003219587628e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.15003219587628e-05×40589641000000     		ar = 5718.29839312035m²