Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17657 / 23846
↖ ↑ ↗
← S 63.104700°
E 13.985596°		 ← 552.62 m → S 63.104700°
E 13.996582°		 →
↑
552.62 m
↓
↑
552.62 m
↓
S 63.109669°
E 13.985596°		 ← 552.53 m →
305 365 m²		 S 63.109669°
E 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538864135742188 y=0.727737426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538864135742188 × 215)
    floor (0.538864135742188 × 32768)
    floor (17657.5)     		tx = 17657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727737426757812 × 215)
    floor (0.727737426757812 × 32768)
    floor (23846.5)     		ty = 23846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17657 / 23846 ti = "15/17657/23846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17657/23846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17657 ÷ 215
    17657 ÷ 32768     		x = 0.538848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23846 ÷ 215
    23846 ÷ 32768     		y = 0.72772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538848876953125 × 2 - 1) × π
    0.07769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24409469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.4554443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43082057985944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24409469} λ = 0.24409469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43082057985944))-π/2
    2×atan(0.239112630709432)-π/2
    2×0.23470577137185-π/2
    0.4694115427437-1.57079632675     		φ = -1.10138478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24409469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.985596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10138478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.104700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17657 KachelY 23846 0.24409469 -1.10138478 13.985596 -63.104700
    Oben rechts KachelX + 1 17658 KachelY 23846 0.24428644 -1.10138478 13.996582 -63.104700
    Unten links KachelX 17657 KachelY + 1 23847 0.24409469 -1.10147152 13.985596 -63.109669
    Unten rechts KachelX + 1 17658 KachelY + 1 23847 0.24428644 -1.10147152 13.996582 -63.109669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10138478--1.10147152) × R
    8.67399999999741e-05 × 6371000     		dl = 552.620539999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10138478--1.10147152) × R
    8.67399999999741e-05 × 6371000     		dr = 552.620539999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24409469-0.24428644) × cos(-1.10138478) × R
    0.000191749999999991 × 0.452361560780501 × 6371000     		do = 552.622637840693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24409469-0.24428644) × cos(-1.10147152) × R
    0.000191749999999991 × 0.452284201342508 × 6371000     		du = 552.528132514884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10138478)-sin(-1.10147152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452361560780501-0.452284201342508)×R²
    abs(0.24428644-0.24409469)×7.73594379922526e-05×R²
    0.000191749999999991×7.73594379922526e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.73594379922526e-05×40589641000000     		ar = 305364.507938723m²