Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17657 / 13485
↖ ↑ ↗
← N 80.569497°
W131.503601°		 ← 50.04 m → N 80.569497°
W131.500854°		 →
↑
50.01 m
↓
↑
50.01 m
↓
N 80.569047°
W131.503601°		 ← 50.05 m →
2 503 m²		 N 80.569047°
W131.500854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134716033935547 y=0.102886199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134716033935547 × 217)
    floor (0.134716033935547 × 131072)
    floor (17657.5)     		tx = 17657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102886199951172 × 217)
    floor (0.102886199951172 × 131072)
    floor (13485.5)     		ty = 13485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17657 / 13485 ti = "17/17657/13485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17657/13485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17657 ÷ 217
    17657 ÷ 131072     		x = 0.134712219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13485 ÷ 217
    13485 ÷ 131072     		y = 0.102882385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134712219238281 × 2 - 1) × π
    -0.730575561523438 × 3.1415926535     		Λ = -2.29517082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102882385253906 × 2 - 1) × π
    0.794235229492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.49516356212354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29517082} λ = -2.29517082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49516356212354))-π/2
    2×atan(12.1237163372174)-π/2
    2×1.48849966362659-π/2
    2.97699932725317-1.57079632675     		φ = 1.40620300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29517082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.503601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40620300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.569497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17657 KachelY 13485 -2.29517082 1.40620300 -131.503601 80.569497
    Oben rechts KachelX + 1 17658 KachelY 13485 -2.29512288 1.40620300 -131.500854 80.569497
    Unten links KachelX 17657 KachelY + 1 13486 -2.29517082 1.40619515 -131.503601 80.569047
    Unten rechts KachelX + 1 17658 KachelY + 1 13486 -2.29512288 1.40619515 -131.500854 80.569047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40620300-1.40619515) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dl = 50.0123500002003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40620300-1.40619515) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dr = 50.0123500002003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29517082--2.29512288) × cos(1.40620300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163851167505117 × 6371000     		do = 50.0443640850816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29517082--2.29512288) × cos(1.40619515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163858911407875 × 6371000     		du = 50.0467292723117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40620300)-sin(1.40619515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163851167505117-0.163858911407875)×R²
    abs(-2.29512288--2.29517082)×7.74390275726233e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.74390275726233e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.74390275726233e-06×40589641000000     		ar = 2502.89539647236m²