Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17654 / 23814
↖ ↑ ↗
← S 62.945230°
E 13.952637°		 ← 555.65 m → S 62.945230°
E 13.963623°		 →
↑
555.61 m
↓
↑
555.61 m
↓
S 62.950227°
E 13.952637°		 ← 555.56 m →
308 703 m²		 S 62.950227°
E 13.963623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538772583007812 y=0.726760864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538772583007812 × 215)
    floor (0.538772583007812 × 32768)
    floor (17654.5)     		tx = 17654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726760864257812 × 215)
    floor (0.726760864257812 × 32768)
    floor (23814.5)     		ty = 23814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17654 / 23814 ti = "15/17654/23814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17654/23814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17654 ÷ 215
    17654 ÷ 32768     		x = 0.53875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23814 ÷ 215
    23814 ÷ 32768     		y = 0.72674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53875732421875 × 2 - 1) × π
    0.0775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24351945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.4534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42468465670807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24351945} λ = 0.24351945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42468465670807))-π/2
    2×atan(0.240584317898373)-π/2
    2×0.236097401645098-π/2
    0.472194803290195-1.57079632675     		φ = -1.09860152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24351945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09860152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.945230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17654 KachelY 23814 0.24351945 -1.09860152 13.952637 -62.945230
    Oben rechts KachelX + 1 17655 KachelY 23814 0.24371120 -1.09860152 13.963623 -62.945230
    Unten links KachelX 17654 KachelY + 1 23815 0.24351945 -1.09868873 13.952637 -62.950227
    Unten rechts KachelX + 1 17655 KachelY + 1 23815 0.24371120 -1.09868873 13.963623 -62.950227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09860152--1.09868873) × R
    8.72099999997822e-05 × 6371000     		dl = 555.614909998612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09860152--1.09868873) × R
    8.72099999997822e-05 × 6371000     		dr = 555.614909998612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24351945-0.24371120) × cos(-1.09860152) × R
    0.000191749999999991 × 0.454842013128825 × 6371000     		do = 555.652855787161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24351945-0.24371120) × cos(-1.09868873) × R
    0.000191749999999991 × 0.454764344602604 × 6371000     		du = 555.55797286704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09860152)-sin(-1.09868873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454842013128825-0.454764344602604)×R²
    abs(0.24371120-0.24351945)×7.76685262209864e-05×R²
    0.000191749999999991×7.76685262209864e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.76685262209864e-05×40589641000000     		ar = 308702.652472095m²