Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17653 / 50957
↖ ↑ ↗
← S 70.164610°
W 83.029175°		 ← 207.27 m → S 70.164610°
W 83.023682°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
S 70.166474°
W 83.029175°		 ← 207.25 m →
42 955 m²		 S 70.166474°
W 83.023682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269371032714844 y=0.777549743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269371032714844 × 216)
    floor (0.269371032714844 × 65536)
    floor (17653.5)     		tx = 17653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777549743652344 × 216)
    floor (0.777549743652344 × 65536)
    floor (50957.5)     		ty = 50957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17653 / 50957 ti = "16/17653/50957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17653/50957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17653 ÷ 216
    17653 ÷ 65536     		x = 0.269363403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50957 ÷ 216
    50957 ÷ 65536     		y = 0.777542114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269363403320312 × 2 - 1) × π
    -0.461273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44913248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777542114257812 × 2 - 1) × π
    -0.555084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7438485343784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44913248} λ = -1.44913248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7438485343784))-π/2
    2×atan(0.174846202490586)-π/2
    2×0.173096435136641-π/2
    0.346192870273282-1.57079632675     		φ = -1.22460346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44913248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.029175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22460346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.164610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17653 KachelY 50957 -1.44913248 -1.22460346 -83.029175 -70.164610
    Oben rechts KachelX + 1 17654 KachelY 50957 -1.44903660 -1.22460346 -83.023682 -70.164610
    Unten links KachelX 17653 KachelY + 1 50958 -1.44913248 -1.22463599 -83.029175 -70.166474
    Unten rechts KachelX + 1 17654 KachelY + 1 50958 -1.44903660 -1.22463599 -83.023682 -70.166474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22460346--1.22463599) × R
    3.25299999999196e-05 × 6371000     		dl = 207.248629999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22460346--1.22463599) × R
    3.25299999999196e-05 × 6371000     		dr = 207.248629999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44913248--1.44903660) × cos(-1.22460346) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.339319014025201 × 6371000     		do = 207.273521909779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44913248--1.44903660) × cos(-1.22463599) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.339288413806346 × 6371000     		du = 207.254829720803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22460346)-sin(-1.22463599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339319014025201-0.339288413806346)×R²
    abs(-1.44903660--1.44913248)×3.06002188553145e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.06002188553145e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.06002188553145e-05×40589641000000     		ar = 42955.216489278m²