Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17651 / 23818
↖ ↑ ↗
← S 62.965212°
E 13.919678°		 ← 555.24 m → S 62.965212°
E 13.930664°		 →
↑
555.23 m
↓
↑
555.23 m
↓
S 62.970205°
E 13.919678°		 ← 555.15 m →
308 264 m²		 S 62.970205°
E 13.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538681030273438 y=0.726882934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538681030273438 × 215)
    floor (0.538681030273438 × 32768)
    floor (17651.5)     		tx = 17651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726882934570312 × 215)
    floor (0.726882934570312 × 32768)
    floor (23818.5)     		ty = 23818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17651 / 23818 ti = "15/17651/23818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17651/23818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17651 ÷ 215
    17651 ÷ 32768     		x = 0.538665771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23818 ÷ 215
    23818 ÷ 32768     		y = 0.72686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538665771484375 × 2 - 1) × π
    0.07733154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24294421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.4537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42545164710199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24294421} λ = 0.24294421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42545164710199))-π/2
    2×atan(0.24039986278431)-π/2
    2×0.235923031481866-π/2
    0.471846062963732-1.57079632675     		φ = -1.09895026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24294421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.919678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09895026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.965212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17651 KachelY 23818 0.24294421 -1.09895026 13.919678 -62.965212
    Oben rechts KachelX + 1 17652 KachelY 23818 0.24313595 -1.09895026 13.930664 -62.965212
    Unten links KachelX 17651 KachelY + 1 23819 0.24294421 -1.09903741 13.919678 -62.970205
    Unten rechts KachelX + 1 17652 KachelY + 1 23819 0.24313595 -1.09903741 13.930664 -62.970205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09895026--1.09903741) × R
    8.71499999999248e-05 × 6371000     		dl = 555.232649999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09895026--1.09903741) × R
    8.71499999999248e-05 × 6371000     		dr = 555.232649999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24294421-0.24313595) × cos(-1.09895026) × R
    0.000191739999999996 × 0.454531407346886 × 6371000     		do = 555.24444937672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24294421-0.24313595) × cos(-1.09903741) × R
    0.000191739999999996 × 0.454453778439399 × 6371000     		du = 555.149619802137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09895026)-sin(-1.09903741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454531407346886-0.454453778439399)×R²
    abs(0.24313595-0.24294421)×7.76289074867487e-05×R²
    0.000191739999999996×7.76289074867487e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.76289074867487e-05×40589641000000     		ar = 308263.520981694m²