Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17650 / 24268
↖ ↑ ↗
← S 65.127638°
E 13.908691°		 ← 513.82 m → S 65.127638°
E 13.919678°		 →
↑
513.76 m
↓
↑
513.76 m
↓
S 65.132258°
E 13.908691°		 ← 513.73 m →
263 956 m²		 S 65.132258°
E 13.919678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538650512695312 y=0.740615844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538650512695312 × 215)
    floor (0.538650512695312 × 32768)
    floor (17650.5)     		tx = 17650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740615844726562 × 215)
    floor (0.740615844726562 × 32768)
    floor (24268.5)     		ty = 24268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17650 / 24268 ti = "15/17650/24268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17650/24268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17650 ÷ 215
    17650 ÷ 32768     		x = 0.53863525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24268 ÷ 215
    24268 ÷ 32768     		y = 0.7406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53863525390625 × 2 - 1) × π
    0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51173806641809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24275246} λ = 0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51173806641809))-π/2
    2×atan(0.220526355222737)-π/2
    2×0.217052305212472-π/2
    0.434104610424945-1.57079632675     		φ = -1.13669172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13669172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.127638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17650 KachelY 24268 0.24275246 -1.13669172 13.908691 -65.127638
    Oben rechts KachelX + 1 17651 KachelY 24268 0.24294421 -1.13669172 13.919678 -65.127638
    Unten links KachelX 17650 KachelY + 1 24269 0.24275246 -1.13677236 13.908691 -65.132258
    Unten rechts KachelX + 1 17651 KachelY + 1 24269 0.24294421 -1.13677236 13.919678 -65.132258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13669172--1.13677236) × R
    8.06399999999652e-05 × 6371000     		dl = 513.757439999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13669172--1.13677236) × R
    8.06399999999652e-05 × 6371000     		dr = 513.757439999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24275246-0.24294421) × cos(-1.13669172) × R
    0.000191749999999991 × 0.420598227272906 × 6371000     		do = 513.819302916977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24275246-0.24294421) × cos(-1.13677236) × R
    0.000191749999999991 × 0.420525065506828 × 6371000     		du = 513.729925631937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13669172)-sin(-1.13677236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420598227272906-0.420525065506828)×R²
    abs(0.24294421-0.24275246)×7.31617660781891e-05×R²
    0.000191749999999991×7.31617660781891e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.31617660781891e-05×40589641000000     		ar = 263955.530709627m²