Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1765 / 2722
↖ ↑ ↗
← S 50.847573°
W 24.873047°		 ← 6 170.52 m → S 50.847573°
W 24.785156°		 →
↑
6 166.87 m
↓
↑
6 166.87 m
↓
S 50.903033°
W 24.873047°		 ← 6 163.18 m →
38 030 210 m²		 S 50.903033°
W 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4310302734375 y=0.6646728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4310302734375 × 212)
    floor (0.4310302734375 × 4096)
    floor (1765.5)     		tx = 1765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6646728515625 × 212)
    floor (0.6646728515625 × 4096)
    floor (2722.5)     		ty = 2722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1765 / 2722 ti = "12/1765/2722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1765/2722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1765 ÷ 212
    1765 ÷ 4096     		x = 0.430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2722 ÷ 212
    2722 ÷ 4096     		y = 0.66455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66455078125 × 2 - 1) × π
    -0.3291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03390305100537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43411656} λ = -0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03390305100537))-π/2
    2×atan(0.355616259945978)-π/2
    2×0.341669381062138-π/2
    0.683338762124276-1.57079632675     		φ = -0.88745756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88745756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.847573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1765 KachelY 2722 -0.43411656 -0.88745756 -24.873047 -50.847573
    Oben rechts KachelX + 1 1766 KachelY 2722 -0.43258258 -0.88745756 -24.785156 -50.847573
    Unten links KachelX 1765 KachelY + 1 2723 -0.43411656 -0.88842552 -24.873047 -50.903033
    Unten rechts KachelX + 1 1766 KachelY + 1 2723 -0.43258258 -0.88842552 -24.785156 -50.903033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88745756--0.88842552) × R
    0.00096795999999999 × 6371000     		dl = 6166.87315999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88745756--0.88842552) × R
    0.00096795999999999 × 6371000     		dr = 6166.87315999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43411656--0.43258258) × cos(-0.88745756) × R
    0.00153397999999999 × 0.6313856484801 × 6371000     		do = 6170.52346940057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43411656--0.43258258) × cos(-0.88842552) × R
    0.00153397999999999 × 0.630634729841203 × 6371000     		du = 6163.18475161997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88745756)-sin(-0.88842552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6313856484801-0.630634729841203)×R²
    abs(-0.43258258--0.43411656)×0.000750918638896425×R²
    0.00153397999999999×0.000750918638896425×6371000²
    0.00153397999999999×0.000750918638896425×40589641000000     		ar = 38030210.0650933m²