Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1765 / 2323
↖ ↑ ↗
← N 77.975323°
W141.218262°		 ← 509 m → N 77.975323°
W141.196289°		 →
↑
509.11 m
↓
↑
509.11 m
↓
N 77.970745°
W141.218262°		 ← 509.19 m →
259 185 m²		 N 77.970745°
W141.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107757568359375 y=0.141815185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107757568359375 × 214)
    floor (0.107757568359375 × 16384)
    floor (1765.5)     		tx = 1765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141815185546875 × 214)
    floor (0.141815185546875 × 16384)
    floor (2323.5)     		ty = 2323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1765 / 2323 ti = "14/1765/2323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1765/2323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1765 ÷ 214
    1765 ÷ 16384     		x = 0.10772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2323 ÷ 214
    2323 ÷ 16384     		y = 0.14178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.7845458984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46472363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14178466796875 × 2 - 1) × π
    0.7164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25073331096088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46472363} λ = -2.46472363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25073331096088))-π/2
    2×atan(9.49469584865599)-π/2
    2×1.46586122826217-π/2
    2.93172245652433-1.57079632675     		φ = 1.36092613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46472363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36092613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.975323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1765 KachelY 2323 -2.46472363 1.36092613 -141.218262 77.975323
    Oben rechts KachelX + 1 1766 KachelY 2323 -2.46434014 1.36092613 -141.196289 77.975323
    Unten links KachelX 1765 KachelY + 1 2324 -2.46472363 1.36084622 -141.218262 77.970745
    Unten rechts KachelX + 1 1766 KachelY + 1 2324 -2.46434014 1.36084622 -141.196289 77.970745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36092613-1.36084622) × R
    7.99099999999608e-05 × 6371000     		dl = 509.106609999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36092613-1.36084622) × R
    7.99099999999608e-05 × 6371000     		dr = 509.106609999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46472363--2.46434014) × cos(1.36092613) × R
    0.000383489999999931 × 0.208332946542878 × 6371000     		do = 509.002136237746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46472363--2.46434014) × cos(1.36084622) × R
    0.000383489999999931 × 0.208411102489631 × 6371000     		du = 509.193088002781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36092613)-sin(1.36084622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208332946542878-0.208411102489631)×R²
    abs(-2.46434014--2.46472363)×7.81559467534498e-05×R²
    0.000383489999999931×7.81559467534498e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.81559467534498e-05×40589641000000     		ar = 259184.959602891m²