Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1765 / 2293
↖ ↑ ↗
← N 78.111882°
W141.218262°		 ← 503.31 m → N 78.111882°
W141.196289°		 →
↑
503.37 m
↓
↑
503.37 m
↓
N 78.107355°
W141.218262°		 ← 503.49 m →
253 398 m²		 N 78.107355°
W141.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107757568359375 y=0.139984130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107757568359375 × 214)
    floor (0.107757568359375 × 16384)
    floor (1765.5)     		tx = 1765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139984130859375 × 214)
    floor (0.139984130859375 × 16384)
    floor (2293.5)     		ty = 2293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1765 / 2293 ti = "14/1765/2293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1765/2293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1765 ÷ 214
    1765 ÷ 16384     		x = 0.10772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2293 ÷ 214
    2293 ÷ 16384     		y = 0.13995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.7845458984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46472363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13995361328125 × 2 - 1) × π
    0.7200927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26223816686969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46472363} λ = -2.46472363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26223816686969))-π/2
    2×atan(9.60456174008411)-π/2
    2×1.46705293005514-π/2
    2.93410586011029-1.57079632675     		φ = 1.36330953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46472363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36330953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.111882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1765 KachelY 2293 -2.46472363 1.36330953 -141.218262 78.111882
    Oben rechts KachelX + 1 1766 KachelY 2293 -2.46434014 1.36330953 -141.196289 78.111882
    Unten links KachelX 1765 KachelY + 1 2294 -2.46472363 1.36323052 -141.218262 78.107355
    Unten rechts KachelX + 1 1766 KachelY + 1 2294 -2.46434014 1.36323052 -141.196289 78.107355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36330953-1.36323052) × R
    7.90100000001015e-05 × 6371000     		dl = 503.372710000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36330953-1.36323052) × R
    7.90100000001015e-05 × 6371000     		dr = 503.372710000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46472363--2.46434014) × cos(1.36330953) × R
    0.000383489999999931 × 0.206001253668189 × 6371000     		do = 503.30530972057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46472363--2.46434014) × cos(1.36323052) × R
    0.000383489999999931 × 0.206078568397113 × 6371000     		du = 503.494206209761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36330953)-sin(1.36323052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206001253668189-0.206078568397113)×R²
    abs(-2.46434014--2.46472363)×7.73147289235554e-05×R²
    0.000383489999999931×7.73147289235554e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.73147289235554e-05×40589641000000     		ar = 253397.700512911m²