Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1765 / 1398
↖ ↑ ↗
← N 49.496675°
W 24.873047°		 ← 6 347.48 m → N 49.496675°
W 24.785156°		 →
↑
6 351.19 m
↓
↑
6 351.19 m
↓
N 49.439557°
W 24.873047°		 ← 6 354.88 m →
40 337 535 m²		 N 49.439557°
W 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4310302734375 y=0.3414306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4310302734375 × 212)
    floor (0.4310302734375 × 4096)
    floor (1765.5)     		tx = 1765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3414306640625 × 212)
    floor (0.3414306640625 × 4096)
    floor (1398.5)     		ty = 1398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1765 / 1398 ti = "12/1765/1398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1765/1398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1765 ÷ 212
    1765 ÷ 4096     		x = 0.430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1398 ÷ 212
    1398 ÷ 4096     		y = 0.34130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34130859375 × 2 - 1) × π
    0.3173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43411656} λ = -0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997087512097168))-π/2
    2×atan(2.71037638336199)-π/2
    2×1.21733813303438-π/2
    2.43467626606875-1.57079632675     		φ = 0.86387994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86387994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.496675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1765 KachelY 1398 -0.43411656 0.86387994 -24.873047 49.496675
    Oben rechts KachelX + 1 1766 KachelY 1398 -0.43258258 0.86387994 -24.785156 49.496675
    Unten links KachelX 1765 KachelY + 1 1399 -0.43411656 0.86288305 -24.873047 49.439557
    Unten rechts KachelX + 1 1766 KachelY + 1 1399 -0.43258258 0.86288305 -24.785156 49.439557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86387994-0.86288305) × R
    0.000996890000000028 × 6371000     		dl = 6351.18619000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86387994-0.86288305) × R
    0.000996890000000028 × 6371000     		dr = 6351.18619000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43411656--0.43258258) × cos(0.86387994) × R
    0.00153397999999999 × 0.649492180998693 × 6371000     		do = 6347.47836871512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43411656--0.43258258) × cos(0.86288305) × R
    0.00153397999999999 × 0.650249861669064 × 6371000     		du = 6354.88317173858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86387994)-sin(0.86288305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649492180998693-0.650249861669064)×R²
    abs(-0.43258258--0.43411656)×0.00075768067037052×R²
    0.00153397999999999×0.00075768067037052×6371000²
    0.00153397999999999×0.00075768067037052×40589641000000     		ar = 40337534.9386459m²