Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17649 / 23919
↖ ↑ ↗
← S 63.465237°
E 13.897705°		 ← 545.76 m → S 63.465237°
E 13.908691°		 →
↑
545.68 m
↓
↑
545.68 m
↓
S 63.470145°
E 13.897705°		 ← 545.66 m →
297 780 m²		 S 63.470145°
E 13.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538619995117188 y=0.729965209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538619995117188 × 215)
    floor (0.538619995117188 × 32768)
    floor (17649.5)     		tx = 17649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729965209960938 × 215)
    floor (0.729965209960938 × 32768)
    floor (23919.5)     		ty = 23919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17649 / 23919 ti = "15/17649/23919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17649/23919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17649 ÷ 215
    17649 ÷ 32768     		x = 0.538604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23919 ÷ 215
    23919 ÷ 32768     		y = 0.729949951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538604736328125 × 2 - 1) × π
    0.07720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24256071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729949951171875 × 2 - 1) × π
    -0.45989990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44481815454849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24256071} λ = 0.24256071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44481815454849))-π/2
    2×atan(0.235788949805631)-π/2
    2×0.231559489189839-π/2
    0.463118978379678-1.57079632675     		φ = -1.10767735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24256071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10767735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.465237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17649 KachelY 23919 0.24256071 -1.10767735 13.897705 -63.465237
    Oben rechts KachelX + 1 17650 KachelY 23919 0.24275246 -1.10767735 13.908691 -63.465237
    Unten links KachelX 17649 KachelY + 1 23920 0.24256071 -1.10776300 13.897705 -63.470145
    Unten rechts KachelX + 1 17650 KachelY + 1 23920 0.24275246 -1.10776300 13.908691 -63.470145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10767735--1.10776300) × R
    8.56500000001592e-05 × 6371000     		dl = 545.676150001014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10767735--1.10776300) × R
    8.56500000001592e-05 × 6371000     		dr = 545.676150001014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24256071-0.24275246) × cos(-1.10767735) × R
    0.000191749999999991 × 0.446740710015609 × 6371000     		do = 545.755985927909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24256071-0.24275246) × cos(-1.10776300) × R
    0.000191749999999991 × 0.446664080450225 × 6371000     		du = 545.662372243125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10767735)-sin(-1.10776300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446740710015609-0.446664080450225)×R²
    abs(0.24275246-0.24256071)×7.66295653839566e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66295653839566e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66295653839566e-05×40589641000000     		ar = 297780.484045601m²