Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17644 / 22276
↖ ↑ ↗
← N 75.669478°
W131.539307°		 ← 75.60 m → N 75.669478°
W131.536560°		 →
↑
75.56 m
↓
↑
75.56 m
↓
N 75.668799°
W131.539307°		 ← 75.60 m →
5 712 m²		 N 75.668799°
W131.536560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134616851806641 y=0.169956207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134616851806641 × 217)
    floor (0.134616851806641 × 131072)
    floor (17644.5)     		tx = 17644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169956207275391 × 217)
    floor (0.169956207275391 × 131072)
    floor (22276.5)     		ty = 22276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17644 / 22276 ti = "17/17644/22276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17644/22276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17644 ÷ 217
    17644 ÷ 131072     		x = 0.134613037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22276 ÷ 217
    22276 ÷ 131072     		y = 0.169952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.73077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.29579400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169952392578125 × 2 - 1) × π
    0.66009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.07375027756363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29579400} λ = -2.29579400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07375027756363))-π/2
    2×atan(7.9545992035782)-π/2
    2×1.44573893371617-π/2
    2.89147786743235-1.57079632675     		φ = 1.32068154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29579400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.539307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32068154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.669478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17644 KachelY 22276 -2.29579400 1.32068154 -131.539307 75.669478
    Oben rechts KachelX + 1 17645 KachelY 22276 -2.29574606 1.32068154 -131.536560 75.669478
    Unten links KachelX 17644 KachelY + 1 22277 -2.29579400 1.32066968 -131.539307 75.668799
    Unten rechts KachelX + 1 17645 KachelY + 1 22277 -2.29574606 1.32066968 -131.536560 75.668799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32068154-1.32066968) × R
    1.18600000000857e-05 × 6371000     		dl = 75.5600600005459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32068154-1.32066968) × R
    1.18600000000857e-05 × 6371000     		dr = 75.5600600005459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29579400--2.29574606) × cos(1.32068154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.247515175975804 × 6371000     		do = 75.5975057835906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29579400--2.29574606) × cos(1.32066968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.247526666922833 × 6371000     		du = 75.6010154145903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32068154)-sin(1.32066968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247515175975804-0.247526666922833)×R²
    abs(-2.29574606--2.29579400)×1.14909470292357e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14909470292357e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14909470292357e-05×40589641000000     		ar = 5712.28466698629m²