Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17643 / 51548
↖ ↑ ↗
← S 71.237289°
W 83.084106°		 ← 196.46 m → S 71.237289°
W 83.078613°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
S 71.239056°
W 83.084106°		 ← 196.44 m →
38 586 m²		 S 71.239056°
W 83.078613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269218444824219 y=0.786567687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269218444824219 × 216)
    floor (0.269218444824219 × 65536)
    floor (17643.5)     		tx = 17643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786567687988281 × 216)
    floor (0.786567687988281 × 65536)
    floor (51548.5)     		ty = 51548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17643 / 51548 ti = "16/17643/51548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17643/51548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17643 ÷ 216
    17643 ÷ 65536     		x = 0.269210815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51548 ÷ 216
    51548 ÷ 65536     		y = 0.78656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269210815429688 × 2 - 1) × π
    -0.461578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45009121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.5731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80050994972931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45009121} λ = -1.45009121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80050994972931))-π/2
    2×atan(0.165214615587513)-π/2
    2×0.163735539151196-π/2
    0.327471078302392-1.57079632675     		φ = -1.24332525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45009121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.084106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24332525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.237289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17643 KachelY 51548 -1.45009121 -1.24332525 -83.084106 -71.237289
    Oben rechts KachelX + 1 17644 KachelY 51548 -1.44999534 -1.24332525 -83.078613 -71.237289
    Unten links KachelX 17643 KachelY + 1 51549 -1.45009121 -1.24335608 -83.084106 -71.239056
    Unten rechts KachelX + 1 17644 KachelY + 1 51549 -1.44999534 -1.24335608 -83.078613 -71.239056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24332525--1.24335608) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dl = 196.417930000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24332525--1.24335608) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dr = 196.417930000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45009121--1.44999534) × cos(-1.24332525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321649526309103 × 6371000     		do = 196.459596895889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45009121--1.44999534) × cos(-1.24335608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321620334499521 × 6371000     		du = 196.441766895612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24332525)-sin(-1.24335608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321649526309103-0.321620334499521)×R²
    abs(-1.44999534--1.45009121)×2.91918095816079e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91918095816079e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91918095816079e-05×40589641000000     		ar = 38586.4362878151m²