Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17641 / 24157
↖ ↑ ↗
← S 64.609748°
E 13.809814°		 ← 523.82 m → S 64.609748°
E 13.820801°		 →
↑
523.76 m
↓
↑
523.76 m
↓
S 64.614459°
E 13.809814°		 ← 523.73 m →
274 330 m²		 S 64.614459°
E 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538375854492188 y=0.737228393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538375854492188 × 215)
    floor (0.538375854492188 × 32768)
    floor (17641.5)     		tx = 17641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737228393554688 × 215)
    floor (0.737228393554688 × 32768)
    floor (24157.5)     		ty = 24157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17641 / 24157 ti = "15/17641/24157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17641/24157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17641 ÷ 215
    17641 ÷ 32768     		x = 0.538360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24157 ÷ 215
    24157 ÷ 32768     		y = 0.737213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538360595703125 × 2 - 1) × π
    0.07672119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24102673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.47442626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49045408298679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24102673} λ = 0.24102673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49045408298679))-π/2
    2×atan(0.225270340882302)-π/2
    2×0.221571741789229-π/2
    0.443143483578459-1.57079632675     		φ = -1.12765284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24102673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.809814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12765284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.609748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17641 KachelY 24157 0.24102673 -1.12765284 13.809814 -64.609748
    Oben rechts KachelX + 1 17642 KachelY 24157 0.24121848 -1.12765284 13.820801 -64.609748
    Unten links KachelX 17641 KachelY + 1 24158 0.24102673 -1.12773505 13.809814 -64.614459
    Unten rechts KachelX + 1 17642 KachelY + 1 24158 0.24121848 -1.12773505 13.820801 -64.614459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12765284--1.12773505) × R
    8.22099999999715e-05 × 6371000     		dl = 523.759909999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12765284--1.12773505) × R
    8.22099999999715e-05 × 6371000     		dr = 523.759909999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24102673-0.24121848) × cos(-1.12765284) × R
    0.000191750000000018 × 0.428781430827391 × 6371000     		do = 523.816225569951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24102673-0.24121848) × cos(-1.12773505) × R
    0.000191750000000018 × 0.428707160185448 × 6371000     		du = 523.725493638631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12765284)-sin(-1.12773505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428781430827391-0.428707160185448)×R²
    abs(0.24121848-0.24102673)×7.42706419427086e-05×R²
    0.000191750000000018×7.42706419427086e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.42706419427086e-05×40589641000000     		ar = 274330.178441214m²