Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17640 / 24120
↖ ↑ ↗
← S 64.434892°
E 13.798828°		 ← 527.18 m → S 64.434892°
E 13.809814°		 →
↑
527.14 m
↓
↑
527.14 m
↓
S 64.439633°
E 13.798828°		 ← 527.09 m →
277 873 m²		 S 64.439633°
E 13.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538345336914062 y=0.736099243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538345336914062 × 215)
    floor (0.538345336914062 × 32768)
    floor (17640.5)     		tx = 17640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736099243164062 × 215)
    floor (0.736099243164062 × 32768)
    floor (24120.5)     		ty = 24120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17640 / 24120 ti = "15/17640/24120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17640/24120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17640 ÷ 215
    17640 ÷ 32768     		x = 0.538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24120 ÷ 215
    24120 ÷ 32768     		y = 0.736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538330078125 × 2 - 1) × π
    0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736083984375 × 2 - 1) × π
    -0.47216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48335942184302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24083498} λ = 0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48335942184302))-π/2
    2×atan(0.226874240450997)-π/2
    2×0.223097653747519-π/2
    0.446195307495039-1.57079632675     		φ = -1.12460102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12460102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.434892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17640 KachelY 24120 0.24083498 -1.12460102 13.798828 -64.434892
    Oben rechts KachelX + 1 17641 KachelY 24120 0.24102673 -1.12460102 13.809814 -64.434892
    Unten links KachelX 17640 KachelY + 1 24121 0.24083498 -1.12468376 13.798828 -64.439633
    Unten rechts KachelX + 1 17641 KachelY + 1 24121 0.24102673 -1.12468376 13.809814 -64.439633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12460102--1.12468376) × R
    8.2739999999859e-05 × 6371000     		dl = 527.136539999102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12460102--1.12468376) × R
    8.2739999999859e-05 × 6371000     		dr = 527.136539999102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24083498-0.24102673) × cos(-1.12460102) × R
    0.000191749999999991 × 0.431536469195384 × 6371000     		do = 527.181888575471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24083498-0.24102673) × cos(-1.12468376) × R
    0.000191749999999991 × 0.431461828337374 × 6371000     		du = 527.090704373673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12460102)-sin(-1.12468376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431536469195384-0.431461828337374)×R²
    abs(0.24102673-0.24083498)×7.46408580094005e-05×R²
    0.000191749999999991×7.46408580094005e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.46408580094005e-05×40589641000000     		ar = 277872.803590277m²