Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17639 / 23828
↖ ↑ ↗
← S 63.015106°
E 13.787842°		 ← 554.30 m → S 63.015106°
E 13.798828°		 →
↑
554.28 m
↓
↑
554.28 m
↓
S 63.020090°
E 13.787842°		 ← 554.20 m →
307 208 m²		 S 63.020090°
E 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538314819335938 y=0.727188110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538314819335938 × 215)
    floor (0.538314819335938 × 32768)
    floor (17639.5)     		tx = 17639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727188110351562 × 215)
    floor (0.727188110351562 × 32768)
    floor (23828.5)     		ty = 23828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17639 / 23828 ti = "15/17639/23828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17639/23828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17639 ÷ 215
    17639 ÷ 32768     		x = 0.538299560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23828 ÷ 215
    23828 ÷ 32768     		y = 0.7271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538299560546875 × 2 - 1) × π
    0.07659912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24064324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42736912308679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24064324} λ = 0.24064324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42736912308679))-π/2
    2×atan(0.239939343479125)-π/2
    2×0.235487626942743-π/2
    0.470975253885486-1.57079632675     		φ = -1.09982107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24064324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.787842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09982107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.015106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17639 KachelY 23828 0.24064324 -1.09982107 13.787842 -63.015106
    Oben rechts KachelX + 1 17640 KachelY 23828 0.24083498 -1.09982107 13.798828 -63.015106
    Unten links KachelX 17639 KachelY + 1 23829 0.24064324 -1.09990807 13.787842 -63.020090
    Unten rechts KachelX + 1 17640 KachelY + 1 23829 0.24083498 -1.09990807 13.798828 -63.020090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09982107--1.09990807) × R
    8.69999999999482e-05 × 6371000     		dl = 554.27699999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09982107--1.09990807) × R
    8.69999999999482e-05 × 6371000     		dr = 554.27699999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24064324-0.24083498) × cos(-1.09982107) × R
    0.000191739999999996 × 0.453755577896508 × 6371000     		do = 554.296715096927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24064324-0.24083498) × cos(-1.09990807) × R
    0.000191739999999996 × 0.453678048201374 × 6371000     		du = 554.202006717727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09982107)-sin(-1.09990807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453755577896508-0.453678048201374)×R²
    abs(0.24083498-0.24064324)×7.75296951343041e-05×R²
    0.000191739999999996×7.75296951343041e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.75296951343041e-05×40589641000000     		ar = 307207.67320906m²