Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17638 / 23857
↖ ↑ ↗
← S 63.159316°
E 13.776856°		 ← 551.58 m → S 63.159316°
E 13.787842°		 →
↑
551.54 m
↓
↑
551.54 m
↓
S 63.164276°
E 13.776856°		 ← 551.49 m →
304 193 m²		 S 63.164276°
E 13.787842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538284301757812 y=0.728073120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538284301757812 × 215)
    floor (0.538284301757812 × 32768)
    floor (17638.5)     		tx = 17638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728073120117188 × 215)
    floor (0.728073120117188 × 32768)
    floor (23857.5)     		ty = 23857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17638 / 23857 ti = "15/17638/23857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17638/23857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17638 ÷ 215
    17638 ÷ 32768     		x = 0.53826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23857 ÷ 215
    23857 ÷ 32768     		y = 0.728057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53826904296875 × 2 - 1) × π
    0.0765380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24045149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.45611572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43292980344272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24045149} λ = 0.24045149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43292980344272))-π/2
    2×atan(0.238608820220941)-π/2
    2×0.234229154029753-π/2
    0.468458308059505-1.57079632675     		φ = -1.10233802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24045149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10233802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.159316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17638 KachelY 23857 0.24045149 -1.10233802 13.776856 -63.159316
    Oben rechts KachelX + 1 17639 KachelY 23857 0.24064324 -1.10233802 13.787842 -63.159316
    Unten links KachelX 17638 KachelY + 1 23858 0.24045149 -1.10242459 13.776856 -63.164276
    Unten rechts KachelX + 1 17639 KachelY + 1 23858 0.24064324 -1.10242459 13.787842 -63.164276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10233802--1.10242459) × R
    8.65700000001191e-05 × 6371000     		dl = 551.537470000759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10233802--1.10242459) × R
    8.65700000001191e-05 × 6371000     		dr = 551.537470000759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24045149-0.24064324) × cos(-1.10233802) × R
    0.000191750000000018 × 0.451511222937754 × 6371000     		do = 551.583831756313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24045149-0.24064324) × cos(-1.10242459) × R
    0.000191750000000018 × 0.451433977826808 × 6371000     		du = 551.489466096911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10233802)-sin(-1.10242459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451511222937754-0.451433977826808)×R²
    abs(0.24064324-0.24045149)×7.72451109463113e-05×R²
    0.000191750000000018×7.72451109463113e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.72451109463113e-05×40589641000000     		ar = 304193.128151479m²