Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17636 / 23850
↖ ↑ ↗
← S 63.124572°
E 13.754883°		 ← 552.24 m → S 63.124572°
E 13.765869°		 →
↑
552.17 m
↓
↑
552.17 m
↓
S 63.129538°
E 13.754883°		 ← 552.15 m →
304 909 m²		 S 63.129538°
E 13.765869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538223266601562 y=0.727859497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538223266601562 × 215)
    floor (0.538223266601562 × 32768)
    floor (17636.5)     		tx = 17636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727859497070312 × 215)
    floor (0.727859497070312 × 32768)
    floor (23850.5)     		ty = 23850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17636 / 23850 ti = "15/17636/23850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17636/23850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17636 ÷ 215
    17636 ÷ 32768     		x = 0.5382080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23850 ÷ 215
    23850 ÷ 32768     		y = 0.72784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5382080078125 × 2 - 1) × π
    0.076416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24006799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.4556884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43158757025336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24006799} λ = 0.24006799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43158757025336))-π/2
    2×atan(0.238929303932539)-π/2
    2×0.234532352209461-π/2
    0.469064704418922-1.57079632675     		φ = -1.10173162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24006799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.754883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10173162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.124572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17636 KachelY 23850 0.24006799 -1.10173162 13.754883 -63.124572
    Oben rechts KachelX + 1 17637 KachelY 23850 0.24025974 -1.10173162 13.765869 -63.124572
    Unten links KachelX 17636 KachelY + 1 23851 0.24006799 -1.10181829 13.754883 -63.129538
    Unten rechts KachelX + 1 17637 KachelY + 1 23851 0.24025974 -1.10181829 13.765869 -63.129538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10173162--1.10181829) × R
    8.66699999999554e-05 × 6371000     		dl = 552.174569999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10173162--1.10181829) × R
    8.66699999999554e-05 × 6371000     		dr = 552.174569999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24006799-0.24025974) × cos(-1.10173162) × R
    0.000191749999999991 × 0.45205220965239 × 6371000     		do = 552.244722360562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24006799-0.24025974) × cos(-1.10181829) × R
    0.000191749999999991 × 0.451974899053109 × 6371000     		du = 552.150276698039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10173162)-sin(-1.10181829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45205220965239-0.451974899053109)×R²
    abs(0.24025974-0.24006799)×7.73105992812884e-05×R²
    0.000191749999999991×7.73105992812884e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.73105992812884e-05×40589641000000     		ar = 304909.417048857m²