Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17635 / 23905
↖ ↑ ↗
← S 63.396442°
E 13.743897°		 ← 547.04 m → S 63.396442°
E 13.754883°		 →
↑
547.01 m
↓
↑
547.01 m
↓
S 63.401362°
E 13.743897°		 ← 546.95 m →
299 213 m²		 S 63.401362°
E 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538192749023438 y=0.729537963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538192749023438 × 215)
    floor (0.538192749023438 × 32768)
    floor (17635.5)     		tx = 17635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729537963867188 × 215)
    floor (0.729537963867188 × 32768)
    floor (23905.5)     		ty = 23905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17635 / 23905 ti = "15/17635/23905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17635/23905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17635 ÷ 215
    17635 ÷ 32768     		x = 0.538177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23905 ÷ 215
    23905 ÷ 32768     		y = 0.729522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538177490234375 × 2 - 1) × π
    0.07635498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23987625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.45904541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44213368816977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23987625} λ = 0.23987625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44213368816977))-π/2
    2×atan(0.236422767664598)-π/2
    2×0.232159839896548-π/2
    0.464319679793096-1.57079632675     		φ = -1.10647665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23987625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10647665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.396442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17635 KachelY 23905 0.23987625 -1.10647665 13.743897 -63.396442
    Oben rechts KachelX + 1 17636 KachelY 23905 0.24006799 -1.10647665 13.754883 -63.396442
    Unten links KachelX 17635 KachelY + 1 23906 0.23987625 -1.10656251 13.743897 -63.401362
    Unten rechts KachelX + 1 17636 KachelY + 1 23906 0.24006799 -1.10656251 13.754883 -63.401362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10647665--1.10656251) × R
    8.58599999999932e-05 × 6371000     		dl = 547.014059999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10647665--1.10656251) × R
    8.58599999999932e-05 × 6371000     		dr = 547.014059999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23987625-0.24006799) × cos(-1.10647665) × R
    0.000191739999999996 × 0.447814610166313 × 6371000     		do = 547.039374233791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23987625-0.24006799) × cos(-1.10656251) × R
    0.000191739999999996 × 0.447737838820396 × 6371000     		du = 546.945592235446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10647665)-sin(-1.10656251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447814610166313-0.447737838820396)×R²
    abs(0.24006799-0.23987625)×7.67713459173258e-05×R²
    0.000191739999999996×7.67713459173258e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.67713459173258e-05×40589641000000     		ar = 299212.57922727m²