Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17635 / 23845
↖ ↑ ↗
← S 63.099730°
E 13.743897°		 ← 552.69 m → S 63.099730°
E 13.754883°		 →
↑
552.62 m
↓
↑
552.62 m
↓
S 63.104700°
E 13.743897°		 ← 552.59 m →
305 401 m²		 S 63.104700°
E 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538192749023438 y=0.727706909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538192749023438 × 215)
    floor (0.538192749023438 × 32768)
    floor (17635.5)     		tx = 17635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727706909179688 × 215)
    floor (0.727706909179688 × 32768)
    floor (23845.5)     		ty = 23845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17635 / 23845 ti = "15/17635/23845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17635/23845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17635 ÷ 215
    17635 ÷ 32768     		x = 0.538177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23845 ÷ 215
    23845 ÷ 32768     		y = 0.727691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538177490234375 × 2 - 1) × π
    0.07635498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23987625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.45538330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43062883226096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23987625} λ = 0.23987625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43062883226096))-π/2
    2×atan(0.239158484378162)-π/2
    2×0.234749144701381-π/2
    0.469498289402761-1.57079632675     		φ = -1.10129804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23987625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10129804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.099730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17635 KachelY 23845 0.23987625 -1.10129804 13.743897 -63.099730
    Oben rechts KachelX + 1 17636 KachelY 23845 0.24006799 -1.10129804 13.754883 -63.099730
    Unten links KachelX 17635 KachelY + 1 23846 0.23987625 -1.10138478 13.743897 -63.104700
    Unten rechts KachelX + 1 17636 KachelY + 1 23846 0.24006799 -1.10138478 13.754883 -63.104700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10129804--1.10138478) × R
    8.67399999999741e-05 × 6371000     		dl = 552.620539999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10129804--1.10138478) × R
    8.67399999999741e-05 × 6371000     		dr = 552.620539999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23987625-0.24006799) × cos(-1.10129804) × R
    0.000191739999999996 × 0.452438916815002 × 6371000     		do = 552.68831412529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23987625-0.24006799) × cos(-1.10138478) × R
    0.000191739999999996 × 0.452361560780501 × 6371000     		du = 552.593817885671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10129804)-sin(-1.10138478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452438916815002-0.452361560780501)×R²
    abs(0.24006799-0.23987625)×7.73560345018742e-05×R²
    0.000191739999999996×7.73560345018742e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.73560345018742e-05×40589641000000     		ar = 305400.804513655m²