Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17634 / 51555
↖ ↑ ↗
← S 71.249653°
W 83.133545°		 ← 196.36 m → S 71.249653°
W 83.128052°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
S 71.251419°
W 83.133545°		 ← 196.34 m →
38 553 m²		 S 71.251419°
W 83.128052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269081115722656 y=0.786674499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269081115722656 × 216)
    floor (0.269081115722656 × 65536)
    floor (17634.5)     		tx = 17634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786674499511719 × 216)
    floor (0.786674499511719 × 65536)
    floor (51555.5)     		ty = 51555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17634 / 51555 ti = "16/17634/51555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17634/51555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17634 ÷ 216
    17634 ÷ 65536     		x = 0.269073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51555 ÷ 216
    51555 ÷ 65536     		y = 0.786666870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.46185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45095408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786666870117188 × 2 - 1) × π
    -0.573333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80118106632399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45095408} λ = -1.45095408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80118106632399))-π/2
    2×atan(0.16510377451511)-π/2
    2×0.163627641269795-π/2
    0.327255282539589-1.57079632675     		φ = -1.24354104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45095408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.133545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24354104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.249653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17634 KachelY 51555 -1.45095408 -1.24354104 -83.133545 -71.249653
    Oben rechts KachelX + 1 17635 KachelY 51555 -1.45085820 -1.24354104 -83.128052 -71.249653
    Unten links KachelX 17634 KachelY + 1 51556 -1.45095408 -1.24357186 -83.133545 -71.251419
    Unten rechts KachelX + 1 17635 KachelY + 1 51556 -1.45085820 -1.24357186 -83.128052 -71.251419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24354104--1.24357186) × R
    3.0820000000098e-05 × 6371000     		dl = 196.354220000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24354104--1.24357186) × R
    3.0820000000098e-05 × 6371000     		dr = 196.354220000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45095408--1.45085820) × cos(-1.24354104) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.321445196161939 × 6371000     		do = 196.355273814282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45095408--1.45085820) × cos(-1.24357186) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.321416011682644 × 6371000     		du = 196.337446431911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24354104)-sin(-1.24357186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321445196161939-0.321416011682644)×R²
    abs(-1.45085820--1.45095408)×2.91844792957296e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.91844792957296e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.91844792957296e-05×40589641000000     		ar = 38553.4363949223m²