Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1763 / 2347
↖ ↑ ↗
← N 60.694695°
W102.524414°		 ← 2 391.76 m → N 60.694695°
W102.480469°		 →
↑
2 392.57 m
↓
↑
2 392.57 m
↓
N 60.673178°
W102.524414°		 ← 2 393.36 m →
5 724 353 m²		 N 60.673178°
W102.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21527099609375 y=0.28656005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21527099609375 × 213)
    floor (0.21527099609375 × 8192)
    floor (1763.5)     		tx = 1763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28656005859375 × 213)
    floor (0.28656005859375 × 8192)
    floor (2347.5)     		ty = 2347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1763 / 2347 ti = "13/1763/2347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1763/2347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1763 ÷ 213
    1763 ÷ 8192     		x = 0.2152099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2347 ÷ 213
    2347 ÷ 8192     		y = 0.2864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.569580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78938859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2864990234375 × 2 - 1) × π
    0.427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.34146619896765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78938859} λ = -1.78938859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34146619896765))-π/2
    2×atan(3.82464708999246)-π/2
    2×1.3150592997639-π/2
    2.63011859952781-1.57079632675     		φ = 1.05932227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78938859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05932227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.694695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1763 KachelY 2347 -1.78938859 1.05932227 -102.524414 60.694695
    Oben rechts KachelX + 1 1764 KachelY 2347 -1.78862160 1.05932227 -102.480469 60.694695
    Unten links KachelX 1763 KachelY + 1 2348 -1.78938859 1.05894673 -102.524414 60.673178
    Unten rechts KachelX + 1 1764 KachelY + 1 2348 -1.78862160 1.05894673 -102.480469 60.673178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05932227-1.05894673) × R
    0.000375540000000063 × 6371000     		dl = 2392.5653400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05932227-1.05894673) × R
    0.000375540000000063 × 6371000     		dr = 2392.5653400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78938859--1.78862160) × cos(1.05932227) × R
    0.000766990000000023 × 0.48946319102246 × 6371000     		do = 2391.75859863331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78938859--1.78862160) × cos(1.05894673) × R
    0.000766990000000023 × 0.489790636377664 × 6371000     		du = 2393.35865816435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05932227)-sin(1.05894673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48946319102246-0.489790636377664)×R²
    abs(-1.78862160--1.78938859)×0.000327445355203737×R²
    0.000766990000000023×0.000327445355203737×6371000²
    0.000766990000000023×0.000327445355203737×40589641000000     		ar = 5724352.91550382m²